(Cederj EP1-Cálculo III-2017-1, Ex: 1) Considere a função vetorial
, onde
. Determine uma equação cartesiana para a curva representada por
e identifique a referida curva;
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem uma função vetorial
, onde
varia de 1 a 4. O objetivo aqui é transformar essa função vetorial em uma equação cartesiana, ou seja, uma equação que relacione
e
sem o parâmetro
. Depois disso, vamos identificar que tipo de curva essa equação representa. Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de álgebra para eliminar o parâmetro
e descobrir a relação direta entre
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a função vetorial
. Aqui,
é igual a
e
é igual a
. Nosso objetivo é eliminar o
dessas duas equações para encontrar uma relação direta entre
e
.
Passo 3
Vamos começar resolvendo a primeira equação para
. Temos:
Para isolar
, subtraímos 2 de ambos os lados:
Passo 4
Agora que temos
em termos de
, vamos substituir esse valor na segunda equação, que é para
:
Substituindo
por
, ficamos com:
Passo 5
Vamos expandir a expressão
para simplificar a equação:
Substituindo de volta na equação de
:
Simplificando:
Passo 6
Agora, temos a equação cartesiana:
Essa é uma equação do segundo grau em
, o que nos indica que a curva é uma parábola.
Resposta
A equação cartesiana da curva é
, e a curva representada por
é uma parábola.
Exercícios relacionados
Represente os seguintes conjuntos com a notação de intervalo;
(a)
(a)
Sabendo que
, e
determine:
c)
c)
Seja
. Determine:
b) Três partições de A
b) Três partições de A
A reta tangente à curva
no ponto
corta o plano
em um ponto. Qual?