(Cederj EP1-Cálculo III-2017-1, Ex: 1) Considere a função vetorial alpha(t) = (2 + t, 1 + t^2), onde t in [1, 4]. Determine uma equação cartesiana para a curva representada por alpha e identifique a referida curva;

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem uma função vetorial , onde t varia de 1 a 4. O objetivo aqui é transformar essa função vetorial em uma equação cartesiana, ou seja, uma equação que relacione x e y sem o parâmetro t. Depois disso, vamos identificar que tipo de curva essa equação representa. Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de álgebra para eliminar o parâmetro t e descobrir a relação direta entre x e y.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a função vetorial . Aqui, x é igual a e y é igual a . Nosso objetivo é eliminar o t dessas duas equações para encontrar uma relação direta entre x e y.

Passo 3

Vamos começar resolvendo a primeira equação para t. Temos:
Para isolar t, subtraímos 2 de ambos os lados:

Passo 4

Agora que temos t em termos de x, vamos substituir esse valor na segunda equação, que é para y:
Substituindo t por , ficamos com:

Passo 5

Vamos expandir a expressão para simplificar a equação:
Substituindo de volta na equação de y:
Simplificando:

Passo 6

Agora, temos a equação cartesiana:
Essa é uma equação do segundo grau em x, o que nos indica que a curva é uma parábola.

Resposta

A equação cartesiana da curva é , e a curva representada por alpha(t) é uma parábola.

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