(Cederj EP1-Cálculo III-2017-1, Ex: 1) Considere a função vetorial , onde . Determine uma equação cartesiana para a curva representada por e identifique a referida curva;

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem uma função vetorial , onde varia de 1 a 4. O objetivo aqui é transformar essa função vetorial em uma equação cartesiana, ou seja, uma equação que relacione e sem o parâmetro . Depois disso, vamos identificar que tipo de curva essa equação representa. Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de álgebra para eliminar o parâmetro e descobrir a relação direta entre e .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a função vetorial . Aqui, é igual a e é igual a . Nosso objetivo é eliminar o dessas duas equações para encontrar uma relação direta entre e .

Passo 3

Vamos começar resolvendo a primeira equação para . Temos:
Para isolar , subtraímos 2 de ambos os lados:

Passo 4

Agora que temos em termos de , vamos substituir esse valor na segunda equação, que é para :
Substituindo por , ficamos com:

Passo 5

Vamos expandir a expressão para simplificar a equação:
Substituindo de volta na equação de :
Simplificando:

Passo 6

Agora, temos a equação cartesiana:
Essa é uma equação do segundo grau em , o que nos indica que a curva é uma parábola.

Resposta

A equação cartesiana da curva é , e a curva representada por é uma parábola.

Exercícios relacionados

Represente os seguintes conjuntos com a notação de intervalo;
(a)
Sabendo que , e determine:
c)
Seja . Determine:
b) Três partições de A
A reta tangente à curva no ponto corta o plano em um ponto. Qual?