A reta tangente à curva no ponto corta o plano em um ponto. Qual?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma curva definida por uma função vetorial e precisa encontrar a reta tangente a essa curva no ponto . Depois, vamos ver onde essa reta tangente corta o plano dado pela equação . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas para encontrar a tangente e equações paramétricas de reta e plano.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o valor de que nos dá o ponto na curva. Olhando para as componentes da função vetorial:
A partir da terceira equação, podemos resolver para :
Vamos verificar se esse valor de satisfaz as outras duas equações:
Então, é o valor correto que nos dá o ponto .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a reta tangente à curva nesse ponto. Para isso, precisamos da derivada da função vetorial , que nos dá o vetor tangente à curva em qualquer ponto .
Calculando a derivada:
Substituindo :
Esse vetor é a direção da reta tangente no ponto dado.

Passo 4

Com o ponto e o vetor direção , podemos escrever a equação paramétrica da reta tangente:
Aqui, é o parâmetro da reta.

Passo 5

Agora, queremos encontrar onde essa reta tangente intercepta o plano . Para isso, vamos substituir as equações paramétricas da reta na equação do plano:
Resolvendo essa equação para :

Passo 6

Agora que temos o valor de , vamos substituir de volta nas equações paramétricas da reta para encontrar as coordenadas do ponto de interseção:

Resposta

O ponto onde a reta tangente corta o plano é .

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