(Cederj EP1-Cálculo III-2017-1, Ex: 1) Considere a função vetorial alpha(t) = (2 + t, 1 + t^2), onde t in [1, 4]. Calcule os pontos inicial e final desta curva.

Passo 1

Então, temos a função vetorial definida no intervalo . O objetivo é encontrar os pontos inicial e final dessa curva. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial para determinar as posições desses pontos nas extremidades do intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um ponto inicial e um ponto final em uma curva parametrizada. O ponto inicial é o ponto na curva correspondente ao menor valor de t, que neste caso é . O ponto final é o ponto correspondente ao maior valor de t, que é .

Passo 3

Vamos calcular o ponto inicial substituindo na função alpha(t):
Então, o ponto inicial é .

Passo 4

Agora, vamos calcular o ponto final substituindo na função alpha(t):
Então, o ponto final é .

Resposta

Os pontos inicial e final da curva são, respectivamente, e .

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