Duas partículas se movem no espaço com funções posição dadas por e respectivamente (onde representa tempo). As trajetórias das partículas se intersectam? Se sim, em que ponto(s)?

Passo 1

Então, temos duas partículas se movendo no espaço com funções posição dadas por e . A questão é saber se as trajetórias dessas partículas se cruzam em algum ponto. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente igualando as funções posição para encontrar se existe um tempo que satisfaça todas as componentes das duas funções simultaneamente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que as trajetórias se intersectam. Isso quer dizer que, em algum instante de tempo , as posições das duas partículas devem ser iguais em todas as coordenadas , e . Então, vamos igualar as componentes correspondentes das funções e :

Passo 3

Agora, vamos resolver cada uma dessas equações para encontrar os possíveis valores de :
  1. Componente :
  1. Componente :
  1. Componente :

Passo 4

Agora, vamos analisar os valores de que encontramos:
  • Para a componente :
  • Para a componente :
  • Para a componente :
Perceba que para as componentes e , encontramos que , mas para a componente , o valor de é diferente, . Isso significa que não existe um único valor de que satisfaça todas as três equações simultaneamente. Ou seja, não há um instante de tempo em que as duas partículas estejam no mesmo ponto no espaço.

Resposta

As trajetórias das partículas não se intersectam.

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g)
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