(Cederj, EP2-Cálculo III-2017-1, Ex: 2) Considere a curva
obtida como interseção entre o parabolóide
e a esfera
. Determine: Uma parametrização para
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar uma parametrização para a curva
, que é a interseção entre o parabolóide
e a esfera
. Vamos usar conceitos de geometria analítica e cálculo para resolver isso, mais especificamente sobre a interseção de superfícies e parametrizações de curvas no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos igualar as duas equações para encontrar uma relação entre as variáveis. Como
, podemos substituir
na equação da esfera:
Passo 3
Simplificando a equação acima:
Isso é um pouco complicado, então vamos procurar outra abordagem usando coordenadas esféricas ou paramétricas.
Passo 4
Vamos parametrizar a curva usando um parâmetro, digamos
, que pode representar um ângulo em um plano. Observando que tanto a esfera quanto o parabolóide são simétricos, podemos assumir que
e
podem ser expressos em termos de
.
Vamos assumir:
Onde
é uma função de
que precisamos determinar.
Passo 5
Substituindo
e
na equação do parabolóide:
Então,
.
Passo 6
Agora, substituímos
,
e
na equação da esfera:
Simplificando:
Passo 7
Resolvendo a equação quadrática em
:
As soluções são
ou
. Como
não pode ser negativo, temos
, então
.
Passo 8
Agora que encontramos
, podemos expressar
,
e
em termos de
:
Resposta
Uma parametrização para
é dada por:
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Converta os números abaixo para as bases de sistemas binários e decimal:
c)
c)
Efetue as somas:
c) , sendo
e
c)
Seja a função
. Faça um esboço do gráfico de
.
(Cederj, EP2-Cálculo III-2017-1, Ex: 2) Considere a curva
obtida como interseção entre o parabolóide
e a esfera
. Determine: A equação da reta tangente à curva
que tem a direção do vetor
.