(Cederj, EP2-Cálculo III-2017-1, Ex: 2) Considere a curva obtida como interseção entre o parabolóide e a esfera . Determine: Uma parametrização para ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar uma parametrização para a curva , que é a interseção entre o parabolóide e a esfera . Vamos usar conceitos de geometria analítica e cálculo para resolver isso, mais especificamente sobre a interseção de superfícies e parametrizações de curvas no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos igualar as duas equações para encontrar uma relação entre as variáveis. Como , podemos substituir na equação da esfera:

Passo 3

Simplificando a equação acima:
Isso é um pouco complicado, então vamos procurar outra abordagem usando coordenadas esféricas ou paramétricas.

Passo 4

Vamos parametrizar a curva usando um parâmetro, digamos , que pode representar um ângulo em um plano. Observando que tanto a esfera quanto o parabolóide são simétricos, podemos assumir que e podem ser expressos em termos de .
Vamos assumir:
Onde é uma função de que precisamos determinar.

Passo 5

Substituindo e na equação do parabolóide:
Então, .

Passo 6

Agora, substituímos , e na equação da esfera:
Simplificando:

Passo 7

Resolvendo a equação quadrática em :
As soluções são ou . Como não pode ser negativo, temos , então .

Passo 8

Agora que encontramos , podemos expressar , e em termos de :

Resposta

Uma parametrização para é dada por:

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Converta os números abaixo para as bases de sistemas binários e decimal:
c)
Efetue as somas:
c) , sendo e
Seja a função . Faça um esboço do gráfico de .
(Cederj, EP2-Cálculo III-2017-1, Ex: 2) Considere a curva obtida como interseção entre o parabolóide e a esfera . Determine: A equação da reta tangente à curva que tem a direção do vetor .