(Cederj, EP2-Cálculo III-2017-1, Ex: 2) Considere a curva obtida como interseção entre o parabolóide e a esfera . Determine: A equação da reta tangente à curva que tem a direção do vetor .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a equação da reta tangente à curva , que é a interseção entre o parabolóide e a esfera . A matéria envolvida aqui é Cálculo III, especificamente noções de curvas em três dimensões e derivadas. Vamos precisar entender como encontrar pontos de interseção dessas superfícies e como determinar a reta tangente em um ponto específico com uma direção dada.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos onde o parabolóide e a esfera se intersectam. Para isso, substituímos da equação do parabolóide na equação da esfera:
Isso simplifica para:
Isso nos ajuda a entender melhor a curva .
Passo 3
Agora, queremos encontrar a reta tangente à curva que tem a direção do vetor . Para isso, precisamos encontrar um ponto na curva onde a direção da reta tangente seja paralela a .
Passo 4
A direção da reta tangente à curva pode ser encontrada usando o vetor gradiente das duas superfícies no ponto de interseção. O vetor gradiente do parabolóide é e o da esfera é . A direção tangente será perpendicular a ambos os gradientes, então podemos usar o produto vetorial para encontrar a direção da reta tangente.
Passo 5
Calculamos o produto vetorial :
Simplificando:
Assim, a direção tangente é .
Passo 6
Queremos que essa direção seja paralela ao vetor . Isso significa que existe um escalar tal que:
Daí, temos:
Passo 7
Também sabemos que o ponto está na curva , então satisfaz as duas equações originais:
Agora, precisamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de , e , e o escalar .
Passo 8
A partir dessas equações, podemos substituir pela primeira na segunda:
Isso simplifica para:
Resolvendo esse sistema juntamente com as equações de direção, encontramos os valores que satisfazem todas as condições.
Passo 9
Após resolver o sistema, encontramos que o ponto de tangência é . Verificamos que neste ponto, a direção da reta tangente coincide com o vetor .
Resposta
A equação da reta tangente à curva na direção do vetor é: