(Cederj, EP2-Cálculo III-2017-1, Ex: 2) Considere a curva C obtida como interseção entre o parabolóide x = y^2 + z^2 e a esfera x^2 + y^2 + z^2 = 6. Determine: A equação da reta tangente à curva C que tem a direção do vetor v = (0, -raiz(6), raiz(2)).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a equação da reta tangente à curva C, que é a interseção entre o parabolóide e a esfera . A matéria envolvida aqui é Cálculo III, especificamente noções de curvas em três dimensões e derivadas. Vamos precisar entender como encontrar pontos de interseção dessas superfícies e como determinar a reta tangente em um ponto específico com uma direção dada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos onde o parabolóide e a esfera se intersectam. Para isso, substituímos x da equação do parabolóide na equação da esfera:
Isso simplifica para:
Isso nos ajuda a entender melhor a curva C.

Passo 3

Agora, queremos encontrar a reta tangente à curva C que tem a direção do vetor . Para isso, precisamos encontrar um ponto na curva onde a direção da reta tangente seja paralela a v.

Passo 4

A direção da reta tangente à curva C pode ser encontrada usando o vetor gradiente das duas superfícies no ponto de interseção. O vetor gradiente do parabolóide é e o da esfera é . A direção tangente será perpendicular a ambos os gradientes, então podemos usar o produto vetorial para encontrar a direção da reta tangente.

Passo 5

Calculamos o produto vetorial :
Simplificando:
Assim, a direção tangente é .

Passo 6

Queremos que essa direção seja paralela ao vetor . Isso significa que existe um escalar lambda tal que:
Daí, temos:

Passo 7

Também sabemos que o ponto (x, y, z) está na curva C, então satisfaz as duas equações originais:
Agora, precisamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de x, y e z, e o escalar lambda.

Passo 8

A partir dessas equações, podemos substituir x pela primeira na segunda:
Isso simplifica para:
Resolvendo esse sistema juntamente com as equações de direção, encontramos os valores que satisfazem todas as condições.

Passo 9

Após resolver o sistema, encontramos que o ponto de tangência é . Verificamos que neste ponto, a direção da reta tangente coincide com o vetor .

Resposta

A equação da reta tangente à curva C na direção do vetor v é:
Onde t é o parâmetro da reta.

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