Seja a função
. Faça um esboço do gráfico de
.
Passo 1
Beleza, bora lá! A gente tem a função
e precisa fazer um esboço do gráfico dela. O conteúdo que vamos usar aqui envolve funções de duas variáveis e gráficos tridimensionais. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função se comporta em diferentes pontos do plano
e como isso se traduz no gráfico 3D.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a expressão dentro da raiz:
. Essa parte é importante porque a raiz quadrada sempre dá valores positivos ou zero. Então,
será sempre maior ou igual a zero. Isso significa que
terá seu valor máximo quando
, ou seja, quando
e
.
Passo 3
No ponto
, a função vale
. Esse será o ponto mais alto do nosso gráfico. Conforme nos afastamos desse ponto, ou seja, aumentando os valores de
ou
, a parte
aumenta, fazendo com que
diminua. Isso cria uma forma de “colapso” para baixo a partir do ponto
.
Passo 4
Vamos entender a forma geral de
. Isso se parece com a equação de uma elipse no plano
, porque os coeficientes de
e
são diferentes. A presença do 3 em frente a
significa que, na direção do eixo
, a função cresce mais rápido do que na direção do eixo
.
Passo 5
Para esboçar o gráfico, podemos pensar nele como uma superfície que desce a partir do ponto
. À medida que nos movemos longe desse ponto no plano
, a altura
diminui seguindo a forma da raiz quadrada da expressão elíptica. Isso resulta em uma superfície semelhante a um cone, mas achatada nas direções devido ao coeficiente 3 em
.
Resposta
O gráfico de
é uma superfície em forma de cone invertido com o vértice no ponto
, expandindo-se mais rapidamente na direção do eixo
devido ao coeficiente 3, e diminuindo à medida que nos afastamos do centro.
Exercícios relacionados
(Cederj, EP2-Cálculo III-2017-1, Ex: 2) Considere a curva
obtida como interseção entre o parabolóide
e a esfera
. Determine: Uma parametrização para
;
Converta os números abaixo para as bases de sistemas binários e decimal:
c)
c)
(Cederj, EP2-Cálculo III-2017-1, Ex: 2) Considere a curva
obtida como interseção entre o parabolóide
e a esfera
. Determine: A equação da reta tangente à curva
que tem a direção do vetor
.
Determine a Transformada Inversa de Laplace (TIL) das seguintes funções no domínio
:
Resp:
Resp: