Seja a função . Faça um esboço do gráfico de .

Passo 1

Beleza, bora lá! A gente tem a função e precisa fazer um esboço do gráfico dela. O conteúdo que vamos usar aqui envolve funções de duas variáveis e gráficos tridimensionais. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função se comporta em diferentes pontos do plano e como isso se traduz no gráfico 3D.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a expressão dentro da raiz: . Essa parte é importante porque a raiz quadrada sempre dá valores positivos ou zero. Então, será sempre maior ou igual a zero. Isso significa que terá seu valor máximo quando , ou seja, quando e .

Passo 3

No ponto , a função vale . Esse será o ponto mais alto do nosso gráfico. Conforme nos afastamos desse ponto, ou seja, aumentando os valores de ou , a parte aumenta, fazendo com que diminua. Isso cria uma forma de “colapso” para baixo a partir do ponto .

Passo 4

Vamos entender a forma geral de . Isso se parece com a equação de uma elipse no plano , porque os coeficientes de e são diferentes. A presença do 3 em frente a significa que, na direção do eixo , a função cresce mais rápido do que na direção do eixo .

Passo 5

Para esboçar o gráfico, podemos pensar nele como uma superfície que desce a partir do ponto . À medida que nos movemos longe desse ponto no plano , a altura diminui seguindo a forma da raiz quadrada da expressão elíptica. Isso resulta em uma superfície semelhante a um cone, mas achatada nas direções devido ao coeficiente 3 em .

Resposta

O gráfico de é uma superfície em forma de cone invertido com o vértice no ponto , expandindo-se mais rapidamente na direção do eixo devido ao coeficiente 3, e diminuindo à medida que nos afastamos do centro.

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c)
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Resp: