Determine a Transformada Inversa de Laplace (TIL) das seguintes funções no domínio
:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de Transformada Inversa de Laplace. A gente tem uma função no domínio
e precisa encontrar a função no tempo
. Para isso, vamos precisar fatorar o denominador, fazer uma decomposição em frações parciais e usar a tabela de transformadas de Laplace para chegar na resposta final.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na função que precisamos transformar inversamente:
Para facilitar a transformação, vamos fatorar o denominador.
Passo 3
Vamos fatorar o polinômio do denominador
. Para isso, procuramos raízes que satisfaçam a equação
.
Testando possíveis raízes, vemos que
é uma raiz, pois:
Então, podemos fatorar
e dividir o polinômio:
Agora, fatoramos o segundo termo:
Então, o denominador fatorado fica:
Passo 4
Agora, vamos reescrever a função
com o denominador fatorado:
Vamos fazer uma decomposição em frações parciais. Assumimos que:
Multiplicando ambos os lados pelo denominador comum
, temos:
Agora, vamos encontrar os valores de
,
e
substituindo valores de
que simplificam a equação.
Para
:
Para
:
Para
:
Então, nossa decomposição fica:
Simplificando:
Passo 5
Agora, usamos a tabela de transformadas de Laplace inversas para encontrar
. Sabemos que:
Aplicando isso aos termos da nossa decomposição:
Para o termo que ficou com
:
Agora, somamos os resultados: