Determine a Transformada Inversa de Laplace (TIL) das seguintes funções no domínio :

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Transformada Inversa de Laplace. A gente tem uma função no domínio e precisa encontrar a função no tempo . Para isso, vamos precisar fatorar o denominador, fazer uma decomposição em frações parciais e usar a tabela de transformadas de Laplace para chegar na resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na função que precisamos transformar inversamente:
Para facilitar a transformação, vamos fatorar o denominador.

Passo 3

Vamos fatorar o polinômio do denominador . Para isso, procuramos raízes que satisfaçam a equação .
Testando possíveis raízes, vemos que é uma raiz, pois:
Então, podemos fatorar e dividir o polinômio:
Agora, fatoramos o segundo termo:
Então, o denominador fatorado fica:

Passo 4

Agora, vamos reescrever a função com o denominador fatorado:
Vamos fazer uma decomposição em frações parciais. Assumimos que:
Multiplicando ambos os lados pelo denominador comum , temos:
Agora, vamos encontrar os valores de , e substituindo valores de que simplificam a equação.
Para :
Para :
Para :
Então, nossa decomposição fica:
Simplificando:

Passo 5

Agora, usamos a tabela de transformadas de Laplace inversas para encontrar . Sabemos que:
Aplicando isso aos termos da nossa decomposição:
Para o termo que ficou com :
Agora, somamos os resultados:

Resposta

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Resp:
(Cederj, EP2-Cálculo III-2017-1, Ex: 2) Considere a curva obtida como interseção entre o parabolóide e a esfera . Determine: A equação da reta tangente à curva que tem a direção do vetor .
Calcule a derivada terceira das seguintes funções:
Uma placa fina de metal, localizada no plano , tem temperatura no ponto . As curvas de nível de são chamadas isotérmicas porque todos os pontos em uma dessas curvas têm a mesma temperatura. Faça o esboço de algumas isotérmicas se a função temperatura for dada por