Determine a Transformada Inversa de Laplace (TIL) das seguintes funções no domínio s :
F(s) = (s^2 - s - 6) / (s^3 - 2s^2 - s + 2)
Resp: f(t)=3 e^t - 2/3 e^(-t) - 4/3 e^(2 t)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Transformada Inversa de Laplace. A gente tem uma função no domínio e precisa encontrar a função no tempo . Para isso, vamos precisar fatorar o denominador, fazer uma decomposição em frações parciais e usar a tabela de transformadas de Laplace para chegar na resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na função que precisamos transformar inversamente:
Para facilitar a transformação, vamos fatorar o denominador.

Passo 3

Vamos fatorar o polinômio do denominador . Para isso, procuramos raízes que satisfaçam a equação .
Testando possíveis raízes, vemos que é uma raiz, pois:
Então, podemos fatorar e dividir o polinômio:
Agora, fatoramos o segundo termo:
Então, o denominador fatorado fica:

Passo 4

Agora, vamos reescrever a função com o denominador fatorado:
Vamos fazer uma decomposição em frações parciais. Assumimos que:
Multiplicando ambos os lados pelo denominador comum , temos:
Agora, vamos encontrar os valores de , e substituindo valores de que simplificam a equação.
Para :
Para :
Para :
Então, nossa decomposição fica:
Simplificando:

Passo 5

Agora, usamos a tabela de transformadas de Laplace inversas para encontrar . Sabemos que:
Aplicando isso aos termos da nossa decomposição:
Para o termo que ficou com :
Agora, somamos os resultados:

Resposta

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