Determine a Transformada Inversa de Laplace (TIL) das seguintes funções no domínio :
Resp:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a Transformada Inversa de Laplace da função . Para isso, vamos precisar usar a fração parcial, que ajuda a decompor funções mais complicadas em partes mais simples, facilitando a aplicação das transformadas inversas que a gente já conhece.
Passo 2
Primeiro, vamos decompor em frações parciais. A ideia aqui é escrever como a soma de termos mais simples que a gente sabe transformar de volta no domínio do tempo.
Então, queremos encontrar constantes , , e tais que:
Passo 3
Vamos multiplicar ambos os lados por para eliminar os denominadores:
Agora, vamos escolher valores de que simplificam a equação para encontrar as constantes.
Primeiro, vamos deixar :
Agora, vamos deixar :
Para encontrar e , podemos expandir a equação original ou escolher outros valores de . Vamos expandir:
Substituindo e :
Expandindo e agrupando os termos:
Agrupando os termos de mesmo grau:
Simplificando:
Para que essa igualdade valha para todo , os coeficientes de cada potência de devem ser iguais:
Resolvendo o primeiro:
Substituindo no segundo:
Passo 4
Agora que temos , , e , podemos reescrever como:
Passo 5
Vamos encontrar a Transformada Inversa de cada termo separadamente: