Determine a Transformada Inversa de Laplace (TIL) das seguintes funções no domínio s :
F(s) = 1 / ((s + 1)^3 * (s + 2))
Resp: f(t) = e^(-t) (1 - t + 1/2 t^2) - e^(-2 t)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a Transformada Inversa de Laplace da função . Para isso, vamos precisar usar a fração parcial, que ajuda a decompor funções mais complicadas em partes mais simples, facilitando a aplicação das transformadas inversas que a gente já conhece.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor em frações parciais. A ideia aqui é escrever como a soma de termos mais simples que a gente sabe transformar de volta no domínio do tempo.
Então, queremos encontrar constantes , , e tais que:

Passo 3

Vamos multiplicar ambos os lados por para eliminar os denominadores:
Agora, vamos escolher valores de que simplificam a equação para encontrar as constantes.
Primeiro, vamos deixar :
Agora, vamos deixar :
Para encontrar e , podemos expandir a equação original ou escolher outros valores de . Vamos expandir:
Substituindo e :
Expandindo e agrupando os termos:
Agrupando os termos de mesmo grau:
Simplificando:
Para que essa igualdade valha para todo , os coeficientes de cada potência de devem ser iguais:
Resolvendo o primeiro:
Substituindo no segundo:

Passo 4

Agora que temos , , e , podemos reescrever como:

Passo 5

Vamos encontrar a Transformada Inversa de cada termo separadamente:
  1. Aqui usamos a fórmula básica:
  2. Usamos a propriedade:
  3. E também:

Passo 6

Agora, juntando tudo:
Podemos fatorar para simplificar:

Resposta

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