CEFET/RJ
4. (2,Opts) Uma caixa de , mantida em repouso sobre uma superficie horizontal e livre de atrito, está atada a um peso de por um cabo delgado e leve que passa sobre uma polia com eixo de atrito desprezivel. A polia possui a forma de um disco maciço e uniforme com massa de e raio de . O sistema è liberado. Calcule: © a aceleração da caixa e

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma caixa de em repouso sobre uma superfície sem atrito, ligada por um cabo a um peso de . Esse cabo passa por uma polia que é um disco maciço com massa de e raio de . Queremos descobrir a aceleração da caixa quando soltamos o sistema. Vamos precisar usar conceitos de força, aceleração e rotação de corpos rígidos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as forças envolvidas. Na caixa, temos a força de tração puxando para a direita. No peso pendurado, temos a força peso puxando para baixo e a mesma força de tração subindo. A polia, por ser um disco maciço, vai ter torque devido à força de tração, que vai gerar uma rotação.

Passo 3

Vamos aplicar a segunda lei de Newton para a caixa e para o peso. Para a caixa:
Para o peso:
Onde:
  • (massa da caixa)
  • (massa do peso)
  • (aceleração da gravidade)
  • é a aceleração que queremos encontrar

Passo 4

Agora, vamos considerar o torque na polia. O torque é dado por:
Onde:
  • é o momento de inércia do disco
  • é a aceleração angular
Para um disco maciço, o momento de inércia é:
E a relação entre a aceleração linear e a aceleração angular é:

Passo 5

Vamos calcular o momento de inércia :

Passo 6

O torque na polia é devido à diferença nas forças de tração nos dois lados do cabo. Como a massa da caixa puxa para a direita e a massa do peso puxa para baixo, o torque total é:
Substituindo na equação do torque:

Passo 7

Agora, substituímos na equação da caixa:
Mas também temos a equação do peso:
Vamos juntar as equações para resolver .

Passo 8

Rearranjando a equação do peso:

Passo 9

Substituindo os valores:

Resposta

A aceleração da caixa é aproximadamente .

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