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4. (2,Opts) Uma caixa de , mantida em repouso sobre uma superficie horizontal e livre de atrito, está atada a um peso de por um cabo delgado e leve que passa sobre uma polia com eixo de atrito desprezivel. A polia possui a forma de um disco maciço e uniforme com massa de e raio de . O sistema è liberado. Calcule: (a) a traçāo na cabo no trecho vertical da polia;

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma caixa de parada sobre uma superfície horizontal sem atrito, ligada por um cabo a um peso de . Esse cabo passa por uma polia que é um disco maciço e uniforme com massa de e raio de . Quando soltamos o sistema, queremos calcular a tensão no trecho vertical do cabo que está ligado ao peso de .
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de Dinâmica de Rotação, especificamente torque e momento de inércia, além das leis de Newton para movimentos lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as forças envolvidas no sistema. Temos duas massas:
  1. Massa da caixa ( ): Essa massa está sobre a superfície e só sofre a força de tensão do cabo ( ) puxando na horizontal.
  2. Massa do peso ( ): Essa massa está pendurada e sofre duas forças: a tensão do cabo ( ) para cima e o peso ( ) para baixo.
Além disso, a polia tem um momento de inércia que vamos precisar calcular.

Passo 3

Vamos calcular o momento de inércia ( ) da polia. Para um disco maciço e uniforme, o momento de inércia é dado por:
Onde:
  • (massa da polia)
  • (raio da polia, convertendo de 25,0 cm para metros)
Substituindo:

Passo 4

Agora, vamos aplicar a segunda lei de Newton para cada massa e para a rotação da polia.
Para a massa da caixa ( ):
A única força horizontal é , e essa força causa a aceleração da caixa.
Para a massa do peso ( ):
As forças verticais são para cima e para baixo. Isso resulta na aceleração para baixo.
Para a rotação da polia:
O torque total ( ) na polia é a diferença entre as tensões multiplicadas pelo raio.
E, pelo torque, temos:
Onde é a aceleração angular. Mas como a aceleração linear está relacionada à aceleração angular por , podemos substituir:
Simplificando:

Passo 5

Agora, temos um sistema de três equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar .
Primeiro, da equação 1, temos .
Substituindo na equação 3:
Agora, da equação 2:
Substituindo da equação anterior:
Isolando :

Passo 6

Vamos substituir os valores que já conhecemos:
Substituindo na expressão para :
Calculando :
Então:

Passo 7

Agora que temos a aceleração , podemos encontrar usando a expressão que encontramos anteriormente:
Substituindo os valores:

Resposta

A tensão no trecho vertical do cabo é aproximadamente .

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