CEFET/RJ
4. (2,Opts) Uma caixa de 0,600 kg, mantida em repouso sobre uma superficie horizontal e livre de atrito, está atada a um peso de 0,200 kg por um cabo delgado e leve que passa sobre uma polia com eixo de atrito desprezivel. A polia possui a forma de um disco maciço e uniforme com massa de 2,00 kg e raio de 25,0 cm. O sistema è liberado. Calcule: (a) a traçāo na cabo no trecho vertical da polia;

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma caixa de parada sobre uma superfície horizontal sem atrito, ligada por um cabo a um peso de . Esse cabo passa por uma polia que é um disco maciço e uniforme com massa de e raio de . Quando soltamos o sistema, queremos calcular a tensão no trecho vertical do cabo que está ligado ao peso de .
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de Dinâmica de Rotação, especificamente torque e momento de inércia, além das leis de Newton para movimentos lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as forças envolvidas no sistema. Temos duas massas:
  1. Massa da caixa ( ): Essa massa está sobre a superfície e só sofre a força de tensão do cabo ( ) puxando na horizontal.
  2. Massa do peso ( ): Essa massa está pendurada e sofre duas forças: a tensão do cabo ( ) para cima e o peso ( ) para baixo.
Além disso, a polia tem um momento de inércia que vamos precisar calcular.

Passo 3

Vamos calcular o momento de inércia ( I = 12 M R^2 ) da polia. Para um disco maciço e uniforme, o momento de inércia é dado por:
I = 12 times 2,00, kg times (0,25, m)^2 = 12 times 2 times 0,0625 = 0,0625, kg·m^2
Onde:
  • (massa da polia)
  • (raio da polia, convertendo de 25,0 cm para metros)
Substituindo:

Passo 4

Agora, vamos aplicar a segunda lei de Newton para cada massa e para a rotação da polia.
Para a massa da caixa ( T1 = m1 a ):
A única força horizontal é m2 g - T2 = m2 a , e essa força causa a aceleração tau = (T2 - T1) R da caixa.
tau = I alpha
Para a massa do peso ( (T2 - T1) R = I aR ):
As forças verticais são T2 - T1 = I aR^2 para cima e para baixo. Isso resulta na aceleração para baixo.
Para a rotação da polia:
O torque total ( ) na polia é a diferença entre as tensões multiplicadas pelo raio.
E, pelo torque, temos:
Onde é a aceleração angular. Mas como a aceleração linear está relacionada à aceleração angular por , podemos substituir:
Simplificando:

Passo 5

Agora, temos um sistema de três equações:
  1. T2 - m1 a = I aR^2
  2. T2 = m1 a + I aR^2 = a ( m1 + IR^2 )
  3. m2 g - T2 = m2 a
Vamos resolver esse sistema para encontrar m2 g - a ( m1 + IR^2 ) = m2 a .
Primeiro, da equação 1, temos m2 g = a ( m1 + IR^2 + m2 ) .
Substituindo a = m2 gm1 + m2 + IR^2 na equação 3:
Agora, da equação 2:
Substituindo da equação anterior:
Isolando :

Passo 6

Vamos substituir os valores que já conhecemos:
  • a = 0,200 times 9,810,600 + 0,200 + 0,06250,25^2
  • 0,06250,0625 = 1,0
  • a = 1,9620,600 + 0,200 + 1,0 = 1,9621,800 approx 1,09, m/s^2
Substituindo na expressão para :
Calculando :
Então:

Passo 7

Agora que temos a aceleração T2 = a ( m1 + IR^2 ) , podemos encontrar T2 = 1,09 times (0,600 + 1,0) = 1,09 times 1,600 = 1,744, N usando a expressão que encontramos anteriormente:
Substituindo os valores:

Resposta

A tensão no trecho vertical do cabo é aproximadamente .

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