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4. (2,Opts) Uma caixa de , mantida em repouso sobre uma superficie horizontal e livre de atrito, está atada a um peso de por um cabo delgado e leve que passa sobre uma polia com eixo de atrito desprezivel. A polia possui a forma de um disco maciço e uniforme com massa de e raio de . O sistema è liberado. Calcule: (d) as componentes horizontal e vertical da força exercida na polia pelo seu eixo. Dado: momento de inércia de um cilindro uniforme e maciço de raio e massa , em relaçäo ao seu eixo de simetria: .

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está nos pedindo. Temos uma caixa de massa parada sobre uma superfície horizontal sem atrito, ligada por um cabo a um peso de . Esse cabo passa por uma polia que é um disco maciço e uniforme com massa de e raio de . Quando liberamos o sistema, queremos calcular as componentes horizontal e vertical da força que o eixo da polia exerce sobre ela. Para resolver isso, vamos usar conceitos de dinâmica rotacional e translacional, incluindo a segunda lei de Newton e o momento de inércia.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar todas as forças envolvidas no sistema:
  1. Caixa (massa ):
    • Força horizontal devido à tensão do cabo .
    • Não há atrito, então essa é a única força horizontal atuando na caixa.
  2. Peso pendente (massa ):
    • Força para baixo devido ao peso .
    • Tensão do cabo para cima.
  3. Polia (massa , raio ):
    • Tensão do cabo do lado da caixa .
    • Tensão do cabo do peso .
    • Força vertical e horizontal exercidas pelo eixo e .

Passo 3

Vamos agora aplicar a segunda lei de Newton para a caixa e para o peso pendente.
Para a caixa:
Onde é a aceleração do sistema.
Para o peso pendente:

Passo 4

Agora, vamos considerar a rotação da polia. A polia está acelerando, então precisamos relacionar sua aceleração angular com a aceleração linear :
O torque causado pelas tensões no cabo é:
Mas isso não faz sentido, então revisamos: na verdade, as tensões nos dois lados da polia são diferentes, pois a massa maior estará puxando mais fortemente. Vamos chamar a tensão que puxa a caixa de e a que puxa o peso de .
Então, o torque é:
Usando a segunda lei de Newton para rotação:
Onde é o momento de inércia da polia. Dado que a polia é um disco maciço e uniforme:
Substituindo:
Simplificando:

Passo 5

Agora, temos três equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar , e .
Primeiro, da equação 1:
Da equação 2:
Substituindo e na equação 3:
Fatorando :

Passo 6

Agora, substituímos os valores numéricos para encontrar :

Passo 7

Com a aceleração encontrada, vamos calcular as tensões e :

Passo 8

Agora, vamos determinar as componentes horizontal e vertical da força no eixo da polia. A polia está em equilíbrio translacional, então a soma das forças no eixo deve igualar à força resultante das tensões nos cabos.
Componente horizontal ( ):
Componente vertical ( ):

Resposta

As componentes da força exercida no eixo da polia são:

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