CEFET/RJ
4. (2,Opts) Uma caixa de 0,600 kg, mantida em repouso sobre uma superficie horizontal e livre de atrito, está atada a um peso de 0,200 kg por um cabo delgado e leve que passa sobre uma polia com eixo de atrito desprezivel. A polia possui a forma de um disco maciço e uniforme com massa de 2,00 kg e raio de 25,0 cm. O sistema è liberado. Calcule: (d) as componentes horizontal e vertical da força exercida na polia pelo seu eixo. Dado: momento de inércia de um cilindro uniforme e maciço de raio R e massa M, em relaçäo ao seu eixo de simetria: M R^2 / 2.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está nos pedindo. Temos uma caixa de massa parada sobre uma superfície horizontal sem atrito, ligada por um cabo a um peso de . Esse cabo passa por uma polia que é um disco maciço e uniforme com massa de e raio de . Quando liberamos o sistema, queremos calcular as componentes horizontal e vertical da força que o eixo da polia exerce sobre ela. Para resolver isso, vamos usar conceitos de dinâmica rotacional e translacional, incluindo a segunda lei de Newton e o momento de inércia.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar todas as forças envolvidas no sistema:
  1. Caixa (massa ):
    • Força horizontal devido à tensão do cabo .
    • Não há atrito, então essa é a única força horizontal atuando na caixa.
  2. Peso pendente (massa ):
    • Força para baixo devido ao peso .
    • Tensão do cabo para cima.
  3. Polia (massa , raio ):
    • Tensão do cabo do lado da caixa .
    • Tensão do cabo do peso .
    • Força vertical e horizontal exercidas pelo eixo e .

Passo 3

Vamos agora aplicar a segunda lei de Newton para a caixa e para o peso pendente.
Para a caixa:
Fcaixa = m1 a = T
Onde Fpeso = m2 g - T = m2 a é a aceleração do sistema.
Para o peso pendente:

Passo 4

Agora, vamos considerar a rotação da polia. A polia está acelerando, então precisamos relacionar sua aceleração angular a = alpha R com a aceleração linear tau = T cdot R - T cdot R = (T - T) R = 0 :
tau = T2 R - T1 R
O torque tau = I alpha causado pelas tensões no cabo é:
I = M R^22
Mas isso não faz sentido, então revisamos: na verdade, as tensões nos dois lados da polia são diferentes, pois a massa maior estará puxando mais fortemente. Vamos chamar a tensão que puxa a caixa de T2 R - T1 R = M R^22 cdot aR e a que puxa o peso de T2 - T1 = M a2 .
Então, o torque é:
Usando a segunda lei de Newton para rotação:
Onde é o momento de inércia da polia. Dado que a polia é um disco maciço e uniforme:
Substituindo:
Simplificando:

Passo 5

Agora, temos três equações:
  1. (m2 g - m2 a) - m1 a = M a2
  2. m2 g - m2 a - m1 a = M a2
  3. m2 g = a ( m2 + m1 + M2 )
Vamos resolver esse sistema para encontrar a = m2 gm2 + m1 + M2 , e .
Primeiro, da equação 1:
Da equação 2:
Substituindo e na equação 3:
Fatorando :

Passo 6

Agora, substituímos os valores numéricos para encontrar a = 0,200, kg times 9,81, m/s^20,200, kg + 0,600, kg + 2,00, kg2 = 1,9620,200 + 0,600 + 1,00 = 1,9621,800 approx 1,09, m/s^2 :

Passo 7

Com a aceleração encontrada, vamos calcular as tensões T1 = m1 a = 0,600, kg times 1,09, m/s^2 approx 0,654, N e T2 = m2 g - m2 a = 0,200, kg times 9,81, m/s^2 - 0,200, kg times 1,09, m/s^2 approx 1,962, N - 0,218, N approx 1,744, N :

Passo 8

Agora, vamos determinar as componentes horizontal e vertical da força no eixo da polia. A polia está em equilíbrio translacional, então a soma das forças no eixo deve igualar à força resultante das tensões nos cabos.
Componente horizontal ( Nx = T2 - T1 ):
Nx = 1,744, N - 0,654, N = 1,090, N
Ny = T1 + T2
Componente vertical ( Ny = 0,654, N + 1,744, N = 2,398, N ):

Resposta

As componentes da força exercida no eixo da polia são:
boxed Fhorizontal &= 1,09, N Fvertical &= 2,40, N

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