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2- ( 1,5 pt) Uma particula descreve um movimento circular uniforme em um plano horizontal . Num dado instante, ela passa pelo ponto de coordenadas ( ) com uma velocidade de
no sentido negativo de e uma aceleração de no sentido positivo de . (a) Faça um desenho contendo: os eixos cartesianos, a particula e seus vetores velocidade e aceleraçalo no instante considerado, e sua trajetória circular. (b) Calcule as coordenadas e y do centro da trajetória.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma partícula que está fazendo um movimento circular uniforme no plano horizontal . No instante considerado, ela está no ponto com uma velocidade de na direção negativa de e uma aceleração de na direção positiva de . Nosso objetivo é encontrar as coordenadas e do centro da trajetória circular. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre movimento circular uniforme e como a aceleração centrípeta está relacionada à velocidade e ao raio da trajetória.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em um movimento circular uniforme, a aceleração que mantém a partícula na trajetória é chamada de aceleração centrípeta. Ela sempre aponta para o centro da trajetória e é dada pela fórmula:
onde:
  • é a aceleração centrípeta,
  • é a velocidade da partícula,
  • é o raio da trajetória circular.

Passo 3

Sabemos que a aceleração centrípeta fornecida é e a velocidade é . Vamos usar esses valores para encontrar o raio :
Então, o raio da trajetória é de .

Passo 4

Agora, precisamos determinar as coordenadas do centro da trajetória. Sabemos que a aceleração centrípeta aponta para o centro. Como a aceleração está na direção positiva de , isso significa que o centro está a na direção positiva de em relação à posição atual da partícula.
A posição atual da partícula é . Então, adicionamos ao valor de para encontrar a coordenada do centro, mantendo o igual porque a aceleração não tem componente em .

Resposta

As coordenadas do centro da trajetória são .

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Se e , determine, em termos dos vetores unitários, (a) e (b) .