CEFET/RJ
6- ( 1,5 p t) Uma pedra aproximadamente esférica, uniforme e maciça parte do repouso e rola para baixo de uma colina de 50,0 m de altura, conforme indica a figura. A metade inferior da colina é áspera o suficiente para permitir que a pedra role sem deslizar, mas a metade superior está coberta de gelo e o atrito é desprezivel. Calcule a velocidade de translação da pedra quando ela atinge a base da colina. Dado: momento de inércia de uma esfera maciça de massa M e raio R em relação a um eixo que passa por seu centro: 2 M R^2 / 5.

Passo 1

Vamos resumir o problema: uma pedra esférica e uniforme parte do repouso no topo de uma colina com altura de 50 metros. A metade superior da colina está coberta de gelo, permitindo que a pedra deslize sem atrito, enquanto a metade inferior é áspera o suficiente para que a pedra role sem deslizar. Precisamos calcular a velocidade da pedra quando ela chega à base da colina. Para resolver isso, vamos utilizar os conceitos de conservação de energia, movimento rotacional e momento de inércia.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as duas partes da colina:
  • Metade superior (25 m): A pedra desliza sem atrito, ou seja, não há rolamento, apenas movimento de translação.
  • Metade inferior (25 m): A superfície é áspera, permitindo que a pedra role sem deslizar, envolvendo tanto movimento de translação quanto rotacional.

Passo 3

Vamos aplicar o Princípio da Conservação da Energia. A energia potencial gravitacional no topo da colina será transformada em energia cinética na base. A energia potencial inicial é dada por:
Ep = m cdot g cdot h
onde:
  • é a massa da pedra,
  • é a aceleração da gravidade (aproximadamente ),
  • é a altura da colina (50 m).

Passo 4

Na base da colina, a energia cinética total ( Ek = 12 m v^2 + 12 I omega^2 ) da pedra é a soma da energia cinética de translação e da energia cinética de rotação:
onde:
  • é a velocidade de translação,
  • é o momento de inércia da pedra,
  • é a velocidade angular.
Como a pedra está rolando sem deslizar, temos a relação , onde é o raio da pedra.

Passo 5

Substituímos o momento de inércia Ek = 12 m v^2 + 12 ( 25 m R^2 ) ( vR )^2 = 12 m v^2 + 15 m v^2 = 710 m v^2 e a relação na expressão da energia cinética:

Passo 6

Igualamos a energia potencial inicial à energia cinética final:
m cdot g cdot h = 710 m v^2
Podemos simplificar cancelando a massa g cdot h = 710 v^2 dos dois lados:

Passo 7

Resolvemos para v^2 = 107 g h v = raiz 107 cdot g cdot h :
v = raiz 107 cdot 9,8 cdot 50 = raiz700 approx 26,46 , m/s
Substituindo os valores ( , ):

Resposta

A velocidade de translação da pedra ao atingir a base da colina é de aproximadamente .

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