CEFET/RJ
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Uma pedra aproximadamente esférica, uniforme e maciça parte do repouso e rola para baixo de uma colina de
de altura, conforme indica a figura. A metade inferior da colina é áspera o suficiente para permitir que a pedra role sem deslizar, mas a metade superior está coberta de gelo e o atrito é desprezivel. Calcule a velocidade de translação da pedra quando ela atinge a base da colina. Dado: momento de inércia de uma esfera maciça de massa
e raio
em relação a um eixo que passa por seu centro:
.
6- (
Passo 1
Vamos resumir o problema: uma pedra esférica e uniforme parte do repouso no topo de uma colina com altura de 50 metros. A metade superior da colina está coberta de gelo, permitindo que a pedra deslize sem atrito, enquanto a metade inferior é áspera o suficiente para que a pedra role sem deslizar. Precisamos calcular a velocidade da pedra quando ela chega à base da colina. Para resolver isso, vamos utilizar os conceitos de conservação de energia, movimento rotacional e momento de inércia.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as duas partes da colina:
- Metade superior (25 m): A pedra desliza sem atrito, ou seja, não há rolamento, apenas movimento de translação.
- Metade inferior (25 m): A superfície é áspera, permitindo que a pedra role sem deslizar, envolvendo tanto movimento de translação quanto rotacional.
Passo 3
Vamos aplicar o Princípio da Conservação da Energia. A energia potencial gravitacional no topo da colina será transformada em energia cinética na base. A energia potencial inicial é dada por:
onde:
-
é a massa da pedra, -
é a aceleração da gravidade (aproximadamente ), -
é a altura da colina (50 m).
Passo 4
Na base da colina, a energia cinética total (
) da pedra é a soma da energia cinética de translação e da energia cinética de rotação:
onde:
-
é a velocidade de translação, -
é o momento de inércia da pedra, -
é a velocidade angular.
Como a pedra está rolando sem deslizar, temos a relação
, onde
é o raio da pedra.
Passo 5
Substituímos o momento de inércia
e a relação
na expressão da energia cinética:
Passo 6
Igualamos a energia potencial inicial à energia cinética final:
Podemos simplificar cancelando a massa
dos dois lados:
Passo 7
Resolvemos para
:
Substituindo os valores (
,
):
Resposta
A velocidade de translação da pedra ao atingir a base da colina é de aproximadamente
.