O dó central da escala temperada, usada pelos modernos fabricantes de instrumentos, tem a freqüência de 261,63 Hz. Se esta freqüência fundamental for a de uma corda de piano de 7 g e comprimento 80 cm , qual deve ser a tensão na corda?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um problema de física envolvendo ondas em cordas. O enunciado nos diz que o dó central da escala temperada tem uma frequência de 261,63 Hz e que essa frequência é a fundamental de uma corda de piano com massa de 7 g e comprimento de 80 cm. Nosso objetivo é descobrir qual deve ser a tensão nessa corda para que ela produza essa frequência. Para resolver isso, vamos usar conceitos de física das ondas em cordas, especificamente a relação entre frequência, massa, comprimento e tensão.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a fórmula que relaciona a frequência fundamental (f) de uma corda com sua massa por unidade de comprimento (μ), comprimento (L) e tensão (T). A fórmula é:
f = 12L raizTmu
Aqui:
  • é a frequência,
  • é o comprimento da corda,
  • é a tensão na corda,
  • é a massa por unidade de comprimento da corda.

Passo 3

Nosso primeiro passo é calcular a massa por unidade de comprimento (μ). Sabemos que a massa total (m) da corda é 7 g e o comprimento (L) é 80 cm. Mas precisamos ter certeza de que as unidades estão consistentes, então vamos converter tudo para o Sistema Internacional (SI).
  • Massa (m): 7 g = 0,007 kg
  • Comprimento (L): 80 cm = 0,80 m
Agora, calculamos mu = mL = 0,007, kg0,80, m = 0,00875, kg/m :

Passo 4

Agora, vamos reorganizar a fórmula da frequência para resolver a tensão (T). Queremos isolar T na equação:
f = 12L raizTmu
Multiplicando ambos os lados por 2Lf = raizTmu :
(2Lf)^2 = Tmu
Agora, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz quadrada:
4L^2f^2 = Tmu
T = 4L^2f^2 mu
Finalmente, multiplicamos ambos os lados por para isolar T:

Passo 5

Agora, vamos substituir os valores que temos na fórmula para encontrar T.
  • T = 4 times (0,80)^2 times (261,63)^2 times 0,00875
  • 0,80^2 = 0,64
  • 261,63^2 approx 68.396
Substituindo:
4 times 0,64 = 2,56
Vamos calcular passo a passo:
2,56 times 68.396 approx 175,0
175,0 times 0,00875 approx 1,531

Resposta

A tensão necessária na corda é aproximadamente 1,531 N.

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