O dó central da escala temperada, usada pelos modernos fabricantes de instrumentos, tem a freqüência de
. Se esta freqüência fundamental for a de uma corda de piano de 7 g e comprimento 80 cm , qual deve ser a tensão na corda?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um problema de física envolvendo ondas em cordas. O enunciado nos diz que o dó central da escala temperada tem uma frequência de 261,63 Hz e que essa frequência é a fundamental de uma corda de piano com massa de 7 g e comprimento de 80 cm. Nosso objetivo é descobrir qual deve ser a tensão nessa corda para que ela produza essa frequência. Para resolver isso, vamos usar conceitos de física das ondas em cordas, especificamente a relação entre frequência, massa, comprimento e tensão.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender a fórmula que relaciona a frequência fundamental (f) de uma corda com sua massa por unidade de comprimento (μ), comprimento (L) e tensão (T). A fórmula é:
Aqui:
-
é a frequência, -
é o comprimento da corda, -
é a tensão na corda, -
é a massa por unidade de comprimento da corda.
Passo 3
Nosso primeiro passo é calcular a massa por unidade de comprimento (μ). Sabemos que a massa total (m) da corda é 7 g e o comprimento (L) é 80 cm. Mas precisamos ter certeza de que as unidades estão consistentes, então vamos converter tudo para o Sistema Internacional (SI).
- Massa (m): 7 g = 0,007 kg
- Comprimento (L): 80 cm = 0,80 m
Agora, calculamos
:
Passo 4
Agora, vamos reorganizar a fórmula da frequência para resolver a tensão (T). Queremos isolar T na equação:
Multiplicando ambos os lados por
:
Agora, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz quadrada:
Finalmente, multiplicamos ambos os lados por
para isolar T:
Passo 5
Agora, vamos substituir os valores que temos na fórmula para encontrar T.
Substituindo:
Vamos calcular passo a passo:
Resposta
A tensão necessária na corda é aproximadamente 1,531 N.