Dois fios metálicos, de diferentes densidades lineares de massa, estão soldados topo a topo e depois são esticados sob a tensão F (a mesma tensão nồ dois fios). A velocidade da onda no primeiro fio é o dobro da velocidade da onda no segundo fio. Quando uma onda harmônica que percorre o primeiro fio for refletida na junção dos dois fios, a onda refletida tem a metade da amplitude da onda transmitida. (a) Admitindo inexistência de perdas nos fios, qual a fração da potência incidente que é refletida na junção dos dois, e qual a fração transmitida? (b) Se a amplitude da onda incidente for A, quais as amplitudes das ondas refletida e transmitida?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos dois fios metálicos com diferentes densidades lineares de massa, soldados e esticados com a mesma tensão . A velocidade da onda no primeiro fio é o dobro da velocidade no segundo. Quando uma onda passa pela junção, a onda refletida tem metade da amplitude da onda transmitida. Vamos usar os conceitos de reflexão e transmissão de ondas em meios com diferentes impedâncias para calcular a fração da potência refletida e transmitida.

Passo 2

Sabemos que a velocidade de uma onda em um fio é dada por v1 = raizFmu1 = 2 raizFmu2 = 2 v2 , onde Fmu1 = 4 Fmu2 implies mu2 = 4 mu1 é a densidade linear de massa. Como , podemos relacionar as densidades lineares:
Elevando ao quadrado ambos os lados:

Passo 3

A impedância de um meio para a propagação de ondas é dada por Z1 = mu1 v1 = mu1 cdot 2 v2 . Então, as impedâncias dos fios são:
Z2 = mu2 v2 = 4 mu1 v2

Passo 4

A fração da potência refletida R = ( Z2 - Z1Z1 + Z2 )^2 e transmitida T = 1 - R são dadas pelas fórmulas:

Passo 5

Vamos calcular R = ( 4 mu1 v2 - 2 mu1 v22 mu1 v2 + 4 mu1 v2 )^2 = ( 2 mu1 v26 mu1 v2 )^2 = ( 13 )^2 = 19 :
T = 1 - 19 = 89
Então, a fração transmitida é:

Resposta

(a) A fração da potência refletida é e a fração transmitida é .
(b) A amplitude da onda refletida é e a amplitude da onda transmitida é .

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