Uma corda de 160 g e 4 m de comprimento está fixa numa das extremidades e ligada a uma corda leve na outra. A sua tensão é 400 N. (a) Quais são os comprimentos de onda da fundamental e dos dois harmônicos seguintes? (b) Quais as freqüências destas ondas estacionárias?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma corda com massa de 160 g e 4 metros de comprimento, fixada em uma extremidade e ligada a uma corda leve na outra, com tensão de 400 N. A gente vai trabalhar com ondas estacionárias e harmônicos. Para resolver, vamos precisar das fórmulas que relacionam o comprimento da corda, a tensão, a massa por unidade de comprimento e os comprimentos de onda e frequências das ondas estacionárias.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a massa por unidade de comprimento da corda. Isso ajuda a gente a entender como a massa da corda afeta a onda. A massa por unidade de comprimento, mu = mL , é dada por:
onde kg (160 g) e m.

Passo 3

Agora, vamos encontrar os comprimentos de onda dos harmônicos. Para uma corda fixa em uma extremidade e livre na outra, os comprimentos de onda das ondas estacionárias seguem a fórmula:
lambdan = 4L2n - 1
onde é o número do harmônico (fundamental , primeiro harmônico , etc.).

Passo 4

Vamos calcular os comprimentos de onda para o fundamental e os dois primeiros harmônicos:
  • Fundamental ( lambda1 = 4 times 42 times 1 - 1 = 161 = 16 m ):
    lambda2 = 4 times 42 times 2 - 1 = 163 approx 5,33 m
  • Primeiro Harmônico ( lambda3 = 4 times 42 times 3 - 1 = 165 = 3,2 m ):
  • Segundo Harmônico ( ):

Passo 5

Agora, vamos determinar as frequências dessas ondas estacionárias. A fórmula para a frequência fn = vlambdan é:
v = raizTmu
onde v = raiz4000,040 = raiz10000 = 100 m/s é a velocidade da onda, calculada por:
Com N e kg/m (160 g / 4 m).
Calculando :

Passo 6

Finalmente, calculamos as frequências para cada harmônico:
  • Fundamental ( f1 = 10016 = 6,25 Hz m):
    f2 = 1005,33 approx 18,75 Hz
  • Primeiro Harmônico ( f3 = 1003,2 approx 31,25 Hz m):
  • Segundo Harmônico ( m):

Resposta

(a) Os comprimentos de onda são:
  • Fundamental: 16 m
  • Primeiro harmônico: aproximadamente 5,33 m
  • Segundo harmônico: 3,2 m
(b) As frequências correspondentes são:
  • Fundamental: 6,25 Hz
  • Primeiro harmônico: aproximadamente 18,75 Hz
  • Segundo harmônico: 31,25 Hz

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