Uma corda de 160 g e 4 m de comprimento está fixa numa das extremidades e ligada a uma corda leve na outra. A sua tensão é 400 N. (a) Quais são os comprimentos de onda da fundamental e dos dois harmônicos seguintes? (b) Quais as freqüências destas ondas estacionárias?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma corda com massa de 160 g e 4 metros de comprimento, fixada em uma extremidade e ligada a uma corda leve na outra, com tensão de 400 N. A gente vai trabalhar com ondas estacionárias e harmônicos. Para resolver, vamos precisar das fórmulas que relacionam o comprimento da corda, a tensão, a massa por unidade de comprimento e os comprimentos de onda e frequências das ondas estacionárias.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a massa por unidade de comprimento da corda. Isso ajuda a gente a entender como a massa da corda afeta a onda. A massa por unidade de comprimento,
, é dada por:
onde
kg (160 g) e
m.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os comprimentos de onda dos harmônicos. Para uma corda fixa em uma extremidade e livre na outra, os comprimentos de onda das ondas estacionárias seguem a fórmula:
onde
é o número do harmônico (fundamental
, primeiro harmônico
, etc.).
Passo 4
Vamos calcular os comprimentos de onda para o fundamental e os dois primeiros harmônicos:
-
Fundamental (
): -
Primeiro Harmônico (
): -
Segundo Harmônico (
):
Passo 5
Agora, vamos determinar as frequências dessas ondas estacionárias. A fórmula para a frequência
é:
onde
é a velocidade da onda, calculada por:
Com
N e
kg/m (160 g / 4 m).
Calculando
:
Passo 6
Finalmente, calculamos as frequências para cada harmônico:
-
Fundamental (
m): -
Primeiro Harmônico (
m): -
Segundo Harmônico (
m):
Resposta
(a) Os comprimentos de onda são:
- Fundamental: 16 m
- Primeiro harmônico: aproximadamente 5,33 m
- Segundo harmônico: 3,2 m
(b) As frequências correspondentes são:
- Fundamental: 6,25 Hz
- Primeiro harmônico: aproximadamente 18,75 Hz
- Segundo harmônico: 31,25 Hz
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