Uma centrífuga de raio 20 cm desacelera ao repouso à partir de 10000 rpm em 30 segundos sob uma aceleração angular constante. Qual é a magnitude da aceleração total em m / s^2, de um ponto na ponta da centrifuga em t=29,0 s ?

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma centrífuga com raio de 20 cm que está desacelerando de 10.000 rotações por minuto (rpm) até parar em 30 segundos, com uma aceleração angular constante. Precisamos encontrar a magnitude da aceleração total, em metros por segundo ao quadrado ( m/s^2), de um ponto na ponta da centrífuga no instante de t = 29,0, s. Para resolver isso, vamos precisar dos conceitos de velocidade angular, aceleração angular e aceleração total em movimentos circulares.

Passo 2

Primeiro, vamos converter a velocidade angular inicial de rotações por minuto (rpm) para radianos por segundo ( rad/s), que é a unidade padrão para cálculos em rotacional. Sabemos que:
omega0 = 10,000, rpm times 2pi, rad1, revolução times 1, min60, s = 10,000 times 2pi60 approx 1047,2, rad/s çã

Passo 3

Como a centrífuga desacelera até parar em 30 segundos com aceleração angular constante, podemos encontrar a aceleração angular ( alpha) usando a fórmula:
omega = omega0 + alpha t
Sabendo que a velocidade final omega = 0 (pois para), temos:
0 = 1047,2, rad/s + alpha times 30, s
Resolvendo para alpha:
alpha = -1047,230 approx -34,9, rad/s^2

Passo 4

Agora, queremos encontrar a velocidade angular no instante t = 29,0, s. Usando novamente a fórmula da velocidade angular:
omega = omega0 + alpha t = 1047,2, rad/s + (-34,9, rad/s^2) times 29,0, s approx 1047,2 - 1012,1 = 35,1, rad/s

Passo 5

Em seguida, calculamos a velocidade tangencial ( v) do ponto na ponta da centrífuga usando a relação:
v = omega r
Onde r = 20, cm = 0,2, m. Então:
v = 35,1, rad/s times 0,2, m = 7,02, m/s

Passo 6

Para encontrar a aceleração total ( atotal), precisamos considerar duas componentes: a aceleração centrípeta ( ac) e a aceleração tangencial ( at).
A aceleração centrípeta é dada por:
ac = omega^2 r = (35,1)^2 times 0,2 approx 246,1, m/s^2
A aceleração tangencial é simplesmente a aceleração angular multiplicada pelo raio:
at = alpha r = (-34,9), rad/s^2 times 0,2, m = -6,98, m/s^2

Passo 7

A aceleração total é a combinação vetorial da aceleração centrípeta e da aceleração tangencial. Como elas são perpendiculares, usamos o teorema de Pitágoras:
atotal = raizac^2 + at^2 = raiz(246,1)^2 + (-6,98)^2 approx raiz60510,8 + 48,7 approx raiz60559,5 approx 246,1, m/s^2

Resposta

A magnitude da aceleração total no instante de t = 29,0, s é aproximadamente 246,1, m/s^2.

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