Duas ondas senoidais de mesma frequência omega= 180 pi rad / s, comprimento de onda lambda=0,5 m e amplitudes 5,0 cm e 7,0 cm se propagam no mesmo sentido em uma corda esticada; Elas produzem uma onda resultante com uma amplitude de 9,0 cm. A constante de fase da primeira onda é nula. (a) Qual é a constante de fase da segunda onda? (b) Qual é a constante de fase da onda resultante? © Construa um gráfico de fasores representando as ondas incidentes e a onda resultante.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre duas ondas senoidais que se propagam na mesma direção numa corda esticada. Ambas têm a mesma frequência e comprimento de onda, mas amplitudes diferentes. Quando essas ondas se combinam, formam uma onda resultante com uma amplitude específica. Vamos precisar usar conceitos de ondas, especialmente de soma de ondas e fasores, para encontrar as constantes de fase das ondas envolvidas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a constante de fase. A constante de fase determina o deslocamento inicial da onda em relação ao tempo e ao espaço. Se a constante de fase é zero, a onda começa sua oscilação no ponto de origem.

Passo 3

As duas ondas têm as mesmas frequências e comprimentos de onda, então podemos representá-las da seguinte forma:
y1 = A1 sin(omega t)
y2 = A2 sin(omega t + phi2)
Onde:
  • $ A_1 = 5,0 , cm $ (amplitude da primeira onda)
  • $ A_2 = 7,0 , cm $ (amplitude da segunda onda)
  • $ \omega = 180\pi , rad/s $ (frequência angular)
  • $ \phi_2 $ é a constante de fase da segunda onda
  • A constante de fase da primeira onda é zero.

Passo 4

Quando somamos duas ondas que se propagam na mesma direção, a amplitude da onda resultante $ A_r $ pode ser calculada usando a fórmula:
Ar
Sabemos que $ A_r = 9,0 , cm $. Vamos substituir os valores conhecidos na fórmula:
Ar = raizA1^2 + A2^2 + 2A1A2 cos(phi2)

Passo 5

Primeiro, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz quadrada:
81 = 25 + 49 + 70 cos(phi2)
Simplificando os termos:
81 = 74 + 70 cos(phi2)

Passo 6

Isolando $ \cos(\phi_2) $:
cos(phi2)
81 - 74 = 70 cos(phi2)
7 = 70 cos(phi2)

Passo 7

Agora, para encontrar $ \phi_2 $, aplicamos a função arco cosseno:
phi2
Calculando:
phi2 = arccos(0,1)

Passo 8

Resposta: A constante de fase da segunda onda é aproximadamente $ 84,26^\circ $.

Passo 9

Agora, vamos para a parte (b) do exercício: encontrar a constante de fase da onda resultante.
A onda resultante já sabemos que tem amplitude $ A_r = 9,0 , cm $ e está formada pela soma das duas ondas originais. Como já determinamos $ \phi_2 $, podemos usar a relação de fasores para encontrar a fase resultante.
Usando os fasores das duas ondas:
Ar = 9,0 , cm
phi2
A soma dos fasores dá o fasor da onda resultante:
Y1 = A1 ang<= 0^circ = 5,0 ang<= 0^circ
Calculando a soma vetorial:
Y2 = A2 ang<= phi2 = 7,0 ang<= 84,26^circ
Yr = Y1 + Y2
Yr = 5,0 + 7,0 cos(84,26^circ) + j times 7,0 sin(84,26^circ)
Yr approx 5,0 + 7,0 times 0,1 + j times 7,0 times 0,995
A fase da onda resultante $ \phi_r $ é o ângulo desse fasor:
Yr approx 5,0 + 0,7 + j times 6,965

Passo 10

Resposta: A constante de fase da onda resultante é aproximadamente $ 50,4^\circ $.

Passo 11

Por fim, na parte ©, precisamos construir um gráfico de fasores representando as ondas incidentes e a onda resultante.
Imagine os fasores como vetores em um plano:
  1. Fasor da primeira onda ($ \vec{Y}_1 $): Um vetor de comprimento 5,0 cm, alinhado com o eixo real (ângulo de $ 0^\circ $).
  2. Fasor da segunda onda ($ \vec{Y}_2 $): Um vetor de comprimento 7,0 cm, formando um ângulo de $ 84,26^\circ $ com o eixo real.
  3. Fasor da onda resultante ($ \vec{Y}_r $): A soma vetorial dos dois anteriores, resultando em um vetor de 9,0 cm com um ângulo de $ 50,4^\circ $.
Para desenhar:
  • Desenhe o fasor $ \vec{Y}_1 $ horizontalmente para a direita.
  • A partir da ponta de $ \vec{Y}_1 $, desenhe o fasor $ \vec{Y}_2 $ em um ângulo de $ 84,26^\circ $.
  • O fasor resultante $ \vec{Y}_r $ vai do ponto de origem até a ponta do fasor $ \vec{Y}_2 $.
  • Marque os ângulos e comprimentos conforme calculado.

Resposta

(a) A constante de fase da segunda onda é aproximadamente $ 84,26^\circ $.
(b) A constante de fase da onda resultante é aproximadamente $ 50,4^\circ $.
© O gráfico de fasores consiste em representar os dois vetores das ondas incidentes adicionados vetorialmente para formar o fasor da onda resultante, conforme descrito no Passo 11.

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