Duas ondas senoidais de mesma frequência
, comprimento de onda
e amplitudes 5,0 cm e
se propagam no mesmo sentido em uma corda esticada; Elas produzem uma onda resultante com uma amplitude de
. A constante de fase da primeira onda é nula. (a) Qual é a constante de fase da segunda onda? (b) Qual é a constante de fase da onda resultante? © Construa um gráfico de fasores representando as ondas incidentes e a onda resultante.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre duas ondas senoidais que se propagam na mesma direção numa corda esticada. Ambas têm a mesma frequência e comprimento de onda, mas amplitudes diferentes. Quando essas ondas se combinam, formam uma onda resultante com uma amplitude específica. Vamos precisar usar conceitos de ondas, especialmente de soma de ondas e fasores, para encontrar as constantes de fase das ondas envolvidas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a constante de fase. A constante de fase determina o deslocamento inicial da onda em relação ao tempo e ao espaço. Se a constante de fase é zero, a onda começa sua oscilação no ponto de origem.
Passo 3
As duas ondas têm as mesmas frequências e comprimentos de onda, então podemos representá-las da seguinte forma:
Onde:
- $ A_1 = 5,0 , cm $ (amplitude da primeira onda)
- $ A_2 = 7,0 , cm $ (amplitude da segunda onda)
- $ \omega = 180\pi , rad/s $ (frequência angular)
- $ \phi_2 $ é a constante de fase da segunda onda
- A constante de fase da primeira onda é zero.
Passo 4
Quando somamos duas ondas que se propagam na mesma direção, a amplitude da onda resultante $ A_r $ pode ser calculada usando a fórmula:
Sabemos que $ A_r = 9,0 , cm $. Vamos substituir os valores conhecidos na fórmula:
Passo 5
Primeiro, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz quadrada:
Simplificando os termos:
Passo 6
Isolando $ \cos(\phi_2) $:
Passo 7
Agora, para encontrar $ \phi_2 $, aplicamos a função arco cosseno:
Calculando:
Passo 8
Resposta: A constante de fase da segunda onda é aproximadamente $ 84,26^\circ $.
Passo 9
Agora, vamos para a parte (b) do exercício: encontrar a constante de fase da onda resultante.
A onda resultante já sabemos que tem amplitude $ A_r = 9,0 , cm $ e está formada pela soma das duas ondas originais. Como já determinamos $ \phi_2 $, podemos usar a relação de fasores para encontrar a fase resultante.
Usando os fasores das duas ondas:
A soma dos fasores dá o fasor da onda resultante:
Calculando a soma vetorial:
A fase da onda resultante $ \phi_r $ é o ângulo desse fasor:
Passo 10
Resposta: A constante de fase da onda resultante é aproximadamente $ 50,4^\circ $.
Passo 11
Por fim, na parte ©, precisamos construir um gráfico de fasores representando as ondas incidentes e a onda resultante.
Imagine os fasores como vetores em um plano:
-
Fasor da primeira onda ($ \vec{Y}_1 $): Um vetor de comprimento 5,0 cm, alinhado com o eixo real (ângulo de $ 0^\circ $).
-
Fasor da segunda onda ($ \vec{Y}_2 $): Um vetor de comprimento 7,0 cm, formando um ângulo de $ 84,26^\circ $ com o eixo real.
-
Fasor da onda resultante ($ \vec{Y}_r $): A soma vetorial dos dois anteriores, resultando em um vetor de 9,0 cm com um ângulo de $ 50,4^\circ $.
Para desenhar:
- Desenhe o fasor $ \vec{Y}_1 $ horizontalmente para a direita.
- A partir da ponta de $ \vec{Y}_1 $, desenhe o fasor $ \vec{Y}_2 $ em um ângulo de $ 84,26^\circ $.
- O fasor resultante $ \vec{Y}_r $ vai do ponto de origem até a ponta do fasor $ \vec{Y}_2 $.
- Marque os ângulos e comprimentos conforme calculado.
Resposta
(a) A constante de fase da segunda onda é aproximadamente $ 84,26^\circ $.
(b) A constante de fase da onda resultante é aproximadamente $ 50,4^\circ $.
© O gráfico de fasores consiste em representar os dois vetores das ondas incidentes adicionados vetorialmente para formar o fasor da onda resultante, conforme descrito no Passo 11.