O centro de um furacão está a 200km de Miami numa posição de 30 graus sul do leste. Um avião está a 100 km norte de Miami. Qual o vetor deslocamento do avião ao centro do furacão?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre vetores de posição relacionados a Miami, um furacão e um avião. A matéria envolvida aqui é a de vetores no plano, usando trigonometria para resolver. Vamos precisar das funções seno e cosseno para decompor os vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos estabelecer um sistema de coordenadas. Vamos considerar Miami como a origem (0,0). O furacão está a 200 km de Miami, numa posição de 30 graus ao sul do leste. Isso significa que ele está 30 graus abaixo da linha leste (eixo x positivo). Para achar as componentes x e y desse vetor, usamos as funções cosseno e seno.

Passo 3

Calculando as componentes do vetor posição do furacão:
  • Componente x:
  • Componente y: (negativo porque está ao sul)
Sabemos que:
Então:
  • km
  • km

Passo 4

Agora, vamos considerar a posição do avião. Ele está a 100 km ao norte de Miami, ou seja:
  • Componente x: km
  • Componente y: km

Passo 5

O vetor deslocamento do avião ao furacão é a diferença entre as posições do furacão e do avião:
  • km
  • km

Passo 6

Para encontrar a magnitude desse vetor deslocamento, usamos o teorema de Pitágoras:
Magnitude = raiz(De
= raiz30000 + 40000 = raiz70000 approx 264.58 km

Passo 7

Agora, vamos achar a direção desse vetor em relação ao leste. Usamos a tangente para encontrar o ângulo:
tan(theta) = |De
theta = arctan(2raiz3) approx 49.1°
Como é negativo, a direção é 49.1 graus ao sul do leste.

Resposta

O vetor deslocamento do avião ao centro do furacão tem uma magnitude de aproximadamente 264,58 km e está direcionado a 49,1° ao sul do leste.

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