O centro de um furacão está a 200km de Miami numa posição de 30 graus sul do leste. Um avião está a 100 km norte de Miami. Qual o vetor deslocamento do avião ao centro do furacão?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre vetores de posição relacionados a Miami, um furacão e um avião. A matéria envolvida aqui é a de vetores no plano, usando trigonometria para resolver. Vamos precisar das funções seno e cosseno para decompor os vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos estabelecer um sistema de coordenadas. Vamos considerar Miami como a origem (0,0). O furacão está a 200 km de Miami, numa posição de 30 graus ao sul do leste. Isso significa que ele está 30 graus abaixo da linha leste (eixo x positivo). Para achar as componentes x e y desse vetor, usamos as funções cosseno e seno.
Passo 3
Calculando as componentes do vetor posição do furacão:
- Componente x:
- Componente y:
(negativo porque está ao sul)
Sabemos que:
Então:
-
km -
km
Passo 4
Agora, vamos considerar a posição do avião. Ele está a 100 km ao norte de Miami, ou seja:
- Componente x:
km - Componente y:
km
Passo 5
O vetor deslocamento do avião ao furacão é a diferença entre as posições do furacão e do avião:
-
km -
km
Passo 6
Para encontrar a magnitude desse vetor deslocamento, usamos o teorema de Pitágoras:
Passo 7
Agora, vamos achar a direção desse vetor em relação ao leste. Usamos a tangente para encontrar o ângulo:
Como
é negativo, a direção é 49.1 graus ao sul do leste.
Resposta
O vetor deslocamento do avião ao centro do furacão tem uma magnitude de aproximadamente 264,58 km e está direcionado a 49,1° ao sul do leste.