Demonstre a lei dos senos e cossenos para vetores.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para demonstrar a Lei dos Senos e a Lei dos Cossenos aplicadas a vetores. Isso faz parte da matéria de Trigonometria e Álgebra Vetorial. Para resolver isso, vamos precisar entender como trabalhar com vetores, somas de vetores e propriedades trigonométricas básicas, como seno e cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são a Lei dos Senos e a Lei dos Cossenos no contexto de um triângulo. Elas relacionam os lados e os ângulos de um triângulo. No caso dos vetores, podemos pensar nos vetores como lados de um triângulo.

Passo 3

Vamos considerar dois vetores u e v que formam um ângulo θ entre eles. A soma desses vetores, u + v, forma o terceiro lado do triângulo. Visualizando isso, temos um triângulo com lados de magnitudes |u|, |v| e |u + v|.

Passo 4

Agora, para demonstrar a Lei dos Cossenos, usamos a relação entre os lados e o ângulo θ. A Lei dos Cossenos diz que:
Isso vem diretamente do produto escalar entre os vetores u e v:

Passo 5

Quanto à Lei dos Senos, ela relaciona os lados do triângulo com os senos dos ângulos opostos. No caso dos vetores, se considerarmos o triângulo formado por u, v, e u + v, teremos:
Aqui, α e β são os outros dois ângulos do triângulo.

Passo 6

Para chegar a essa relação, podemos usar o fato de que a soma dos ângulos internos do triângulo é 180°. Além disso, utilizamos as definições de seno em termos das projeções dos vetores e as relações trigonométricas básicas.

Resposta

Demonstramos que, para dois vetores u e v com ângulo θ entre eles, as Leis dos Senos e dos Cossenos são dadas por:
e
Essas relações conectam os lados e os ângulos formados por vetores, conforme solicitado.

Exercícios relacionados

O centro de um furacão está a 200km de Miami numa posição de 30 graus sul do leste. Um avião está a 100 km norte de Miami. Qual o vetor deslocamento do avião ao centro do furacão?
Um barco se move de uma cidade A a uma cidade B e de lá para uma cidade C. O primeiro deslocamento é 2890 m a 65 graus do norte, o segundo deslocamento é 1830m em direção sul. Qual é o deslocamento resultante?
Três vetores são dados por . Determine: A. (B . Coloque esses vetores um sistema de coordenadas retangulares.
Um carro se desloca com aceleração constante em módulo, direção. O carro percorre em 5 s a distancia de 50m que separa dois pontos. Sua velocidade quando ele passa pelo primeiro ponto vale . Calcule a velocidade com que ele passa pelo segundo ponto. Calcule a aceleração do carro. A que distancia antes do primeiro ponto o carro partiu do repouso? Calculo o tempo gasto pelo carro desde o repouso até o momento em que sua velocidade atinge o valor de .