Demonstre a lei dos senos e cossenos para vetores.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para demonstrar a Lei dos Senos e a Lei dos Cossenos aplicadas a vetores. Isso faz parte da matéria de Trigonometria e Álgebra Vetorial. Para resolver isso, vamos precisar entender como trabalhar com vetores, somas de vetores e propriedades trigonométricas básicas, como seno e cosseno.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são a Lei dos Senos e a Lei dos Cossenos no contexto de um triângulo. Elas relacionam os lados e os ângulos de um triângulo. No caso dos vetores, podemos pensar nos vetores como lados de um triângulo.
Passo 3
Vamos considerar dois vetores u e v que formam um ângulo θ entre eles. A soma desses vetores, u + v, forma o terceiro lado do triângulo. Visualizando isso, temos um triângulo com lados de magnitudes |u|, |v| e |u + v|.
Passo 4
Agora, para demonstrar a Lei dos Cossenos, usamos a relação entre os lados e o ângulo θ. A Lei dos Cossenos diz que:
Isso vem diretamente do produto escalar entre os vetores u e v:
Passo 5
Quanto à Lei dos Senos, ela relaciona os lados do triângulo com os senos dos ângulos opostos. No caso dos vetores, se considerarmos o triângulo formado por u, v, e u + v, teremos:
Aqui, α e β são os outros dois ângulos do triângulo.
Passo 6
Para chegar a essa relação, podemos usar o fato de que a soma dos ângulos internos do triângulo é 180°. Além disso, utilizamos as definições de seno em termos das projeções dos vetores e as relações trigonométricas básicas.
Resposta
Demonstramos que, para dois vetores u e v com ângulo θ entre eles, as Leis dos Senos e dos Cossenos são dadas por:
e
Essas relações conectam os lados e os ângulos formados por vetores, conforme solicitado.
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