Demonstre a lei dos senos e cossenos para vetores.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para demonstrar a Lei dos Senos e a Lei dos Cossenos aplicadas a vetores. Isso faz parte da matéria de Trigonometria e Álgebra Vetorial. Para resolver isso, vamos precisar entender como trabalhar com vetores, somas de vetores e propriedades trigonométricas básicas, como seno e cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são a Lei dos Senos e a Lei dos Cossenos no contexto de um triângulo. Elas relacionam os lados e os ângulos de um triângulo. No caso dos vetores, podemos pensar nos vetores como lados de um triângulo.

Passo 3

Vamos considerar dois vetores u e v que formam um ângulo θ entre eles. A soma desses vetores, u + v, forma o terceiro lado do triângulo. Visualizando isso, temos um triângulo com lados de magnitudes |u|, |v| e |u + v|.

Passo 4

Agora, para demonstrar a Lei dos Cossenos, usamos a relação entre os lados e o ângulo θ. A Lei dos Cossenos diz que:
|u + v|^2 = |u|^2 + |v|^2 + 2|u||v|cosθ
Isso vem diretamente do produto escalar entre os vetores u e v:
**u** cdot **v** = |u||v|cosθ

Passo 5

Quanto à Lei dos Senos, ela relaciona os lados do triângulo com os senos dos ângulos opostos. No caso dos vetores, se considerarmos o triângulo formado por u, v, e u + v, teremos:
|u|sinα = |v|sinβ = |u + v|sinθ
Aqui, α e β são os outros dois ângulos do triângulo.

Passo 6

Para chegar a essa relação, podemos usar o fato de que a soma dos ângulos internos do triângulo é 180°. Além disso, utilizamos as definições de seno em termos das projeções dos vetores e as relações trigonométricas básicas.

Resposta

Demonstramos que, para dois vetores u e v com ângulo θ entre eles, as Leis dos Senos e dos Cossenos são dadas por:
|u + v|^2 = |u|^2 + |v|^2 + 2|u||v|cosθ
e
|u|sinα = |v|sinβ = |u + v|sinθ
Essas relações conectam os lados e os ângulos formados por vetores, conforme solicitado.

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