Para os seguintes pares de funções determine se elas são LI
(d)
e
(d)
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar se as funções
e
são linearmente independentes (LI). Para isso, vamos trabalhar com conceitos de Álgebra Linear, especificamente sobre independência linear de funções. Precisaremos entender o que significa duas funções serem linearmente independentes e aplicar esse conceito para verificar as funções dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é independência linear de funções. Duas funções
e
são consideradas linearmente independentes se a única combinação linear delas que resulta na função zero é quando ambos os coeficientes dessa combinação são zero. Em outras palavras, se
para todo
, então necessariamente
e
.
Passo 3
Vamos aplicar isso às funções dadas:
Queremos encontrar valores de
e
que satisfaçam essa equação para todo
.
Passo 4
Para que a equação seja verdadeira para todo
, ela deve ser válida tanto para
quanto para
.
Para
:
Então, a equação fica:
Como isso deve valer para todo
, temos:
(Equação 1)
Para
:
A equação fica:
Novamente, para todo
:
(Equação 2)
Passo 5
Agora, temos um sistema de duas equações:
Vamos resolver esse sistema.
Somando as duas equações:
Substituindo
na Equação 1:
Passo 6
Encontramos que a única solução para
e
é
e
. Isso significa que a única combinação linear das funções
e
que resulta na função zero é quando ambos os coeficientes são zero.
Resposta
As funções
e
são linearmente independentes (LI).
Exercícios relacionados
Sejam
e
soluções da EDO
onde
. Prove que
(b) Se e
atingem máximo ou mínimo em um mesmo ponto
, então elas não podem formar um conjunto fundamental de soluções nesse intervalo.
(b) Se
Para as seguintes EDO
(a)
(a)
Encontre as integrais de linha de
entre
sobre o caminho
para
Centro de massa de um fio curvo. Um fio com densidade
se encontra ao longo da curva
. Encontre o centro de massa.