Para os seguintes pares de funções determine se elas são LI
(d) e

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar se as funções e são linearmente independentes (LI). Para isso, vamos trabalhar com conceitos de Álgebra Linear, especificamente sobre independência linear de funções. Precisaremos entender o que significa duas funções serem linearmente independentes e aplicar esse conceito para verificar as funções dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é independência linear de funções. Duas funções e são consideradas linearmente independentes se a única combinação linear delas que resulta na função zero é quando ambos os coeficientes dessa combinação são zero. Em outras palavras, se para todo , então necessariamente e .

Passo 3

Vamos aplicar isso às funções dadas:
Queremos encontrar valores de e que satisfaçam essa equação para todo .

Passo 4

Para que a equação seja verdadeira para todo , ela deve ser válida tanto para quanto para .
Para :
Então, a equação fica:
Como isso deve valer para todo , temos:
(Equação 1)
Para :
A equação fica:
Novamente, para todo :
(Equação 2)

Passo 5

Agora, temos um sistema de duas equações:
Vamos resolver esse sistema.
Somando as duas equações:
Substituindo na Equação 1:

Passo 6

Encontramos que a única solução para e é e . Isso significa que a única combinação linear das funções e que resulta na função zero é quando ambos os coeficientes são zero.

Resposta

As funções e são linearmente independentes (LI).

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Sejam e soluções da EDO
onde . Prove que
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(a)
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