Centroide Encontre o centroide da região no primeiro octante que é delimitado acima pelo cone , abaixo pelo plano dos lados pelo cilindro os planos .
Figura 3: Problema retirado da seção 15.7 do livro-texto

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o centroide de uma região no primeiro octante que está limitada por um cone, um plano, um cilindro e dois planos coordenados. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente de integração em coordenadas cilíndricas, que são super úteis para regiões com simetria circular.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região que estamos analisando. Estamos no primeiro octante, ou seja, onde x, y e z são todos positivos. A região é delimitada:
  • Acima pelo cone
  • Abaixo pelo plano (o plano xy)
  • Dos lados pelo cilindro
  • Pelôs planos e (as paredes do primeiro octante)
Essa descrição nos mostra que temos uma região circular limitada pelo cilindro de raio 2, com altura determinada pelo cone.

Passo 3

Para encontrar o centroide, precisamos calcular as coordenadas usando as fórmulas:
Onde é o volume da região.

Passo 4

Observando a simetria da região, vemos que ela é simétrica em relação aos eixos x e y. Isso significa que . Portanto, precisamos calcular apenas um deles e já teremos o outro.

Passo 5

Vamos converter as equações para coordenadas cilíndricas, onde:
E o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é . Isso simplifica a integração para regiões circulares.

Passo 6

Determinar os limites de integração:
  • varia de 0 a 2 (raio do cilindro)
  • varia de 0 a (primeiro octante)
  • varia de 0 a (do plano xy até o cone )

Passo 7

Calculando o volume :
Integrando em relação a :
Integrando em relação a :

Passo 8

Agora, vamos calcular :
Integrando em relação a :
Integrando em relação a :

Passo 9

Devido à simetria, sabemos que . Calcularemos :
Integrando em relação a :
Integrando em relação a :

Resposta

O centroide da região é .

Exercícios relacionados

Exercício 4. Calcule as integrais.
, em que é o sólido do primeiro octante que está abaixo do paraboloide .
Exercício 6. Calcule as integrais
.
Reescreva cada uma delas usando coordenadas polares.
a)
Determine o volume do sólido S descrito em cada caso.
a) S é limitado pelas superfícies de equações e .