Centroide Encontre o centroide da região no primeiro octante que é delimitado acima pelo cone
, abaixo pelo plano
dos lados pelo cilindro
os planos
.
Figura 3: Problema retirado da seção 15.7 do livro-texto
Figura 3: Problema retirado da seção 15.7 do livro-texto
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o centroide de uma região no primeiro octante que está limitada por um cone, um plano, um cilindro e dois planos coordenados. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente de integração em coordenadas cilíndricas, que são super úteis para regiões com simetria circular.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região que estamos analisando. Estamos no primeiro octante, ou seja, onde x, y e z são todos positivos. A região é delimitada:
- Acima pelo cone
- Abaixo pelo plano
(o plano xy) - Dos lados pelo cilindro
- Pelôs planos
e (as paredes do primeiro octante)
Essa descrição nos mostra que temos uma região circular limitada pelo cilindro de raio 2, com altura determinada pelo cone.
Passo 3
Para encontrar o centroide, precisamos calcular as coordenadas
usando as fórmulas:
Onde
é o volume da região.
Passo 4
Observando a simetria da região, vemos que ela é simétrica em relação aos eixos x e y. Isso significa que
. Portanto, precisamos calcular apenas um deles e já teremos o outro.
Passo 5
Vamos converter as equações para coordenadas cilíndricas, onde:
E o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é
. Isso simplifica a integração para regiões circulares.
Passo 6
Determinar os limites de integração:
-
varia de 0 a 2 (raio do cilindro) -
varia de 0 a (primeiro octante) -
varia de 0 a (do plano xy até o cone )
Passo 7
Calculando o volume
:
Integrando em relação a
:
Integrando em relação a
:
Passo 8
Agora, vamos calcular
:
Integrando em relação a
:
Integrando em relação a
:
Passo 9
Devido à simetria, sabemos que
. Calcularemos
:
Integrando em relação a
:
Integrando em relação a
:
Resposta
O centroide da região é
.
Exercícios relacionados
Exercício 4. Calcule as integrais.
, em que
é o sólido do primeiro octante que está abaixo do paraboloide
.
Exercício 6. Calcule as integrais
.
Reescreva cada uma delas usando coordenadas polares.
a)
a)
Determine o volume do sólido S descrito em cada caso.
a) S é limitado pelas superfícies de equações e
.
a) S é limitado pelas superfícies de equações