Exercício 6. Calcule as integrais
.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que envolve uma integral tripla. O enunciado pede para calcular:
Esse tipo de integral geralmente aparece quando trabalhamos com coordenadas esféricas na matéria de cálculo multivariado. Vamos precisar integrar em relação a , e , seguindo os limites fornecidos.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar em relação a . A integral interna é:
A antiderivada de é , então avaliando entre 0 e :
Agora, substituímos isso de volta na integral:

Passo 3

Em seguida, vamos integrar em relação a . A integral é:
Multiplicando isso pela expressão que temos:

Passo 4

Agora, vamos resolver a integral em relação a . Observamos que:
Fazendo a substituição , temos , ou seja, . A integral fica:
Integrando:
Sabendo que , temos . Substituindo:

Resposta

O valor da integral é .

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Exercício 4. Calcule as integrais.
, onde é o sólido que está entre os cilindros e , acima do plano e abaixo do plano .
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, onde é limitado pelo paraboloide e o plano .
Exercício 4. Calcule as integrais.
, em que é o sólido do primeiro octante que está abaixo do paraboloide .
Centroide Encontre o centroide da região no primeiro octante que é delimitado acima pelo cone , abaixo pelo plano dos lados pelo cilindro os planos .
Figura 3: Problema retirado da seção 15.7 do livro-texto