Exercício 6. Calcule as integrais
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que envolve uma integral tripla. O enunciado pede para calcular:
Esse tipo de integral geralmente aparece quando trabalhamos com coordenadas esféricas na matéria de cálculo multivariado. Vamos precisar integrar em relação a
,
e
, seguindo os limites fornecidos.
Passo 2
Primeiro, vamos integrar em relação a
. A integral interna é:
A antiderivada de
é
, então avaliando entre 0 e
:
Agora, substituímos isso de volta na integral:
Passo 3
Em seguida, vamos integrar em relação a
. A integral é:
Multiplicando isso pela expressão que temos:
Passo 4
Agora, vamos resolver a integral em relação a
. Observamos que:
Fazendo a substituição
, temos
, ou seja,
. A integral fica:
Integrando:
Sabendo que
, temos
. Substituindo:
Resposta
O valor da integral é
.
Exercícios relacionados
Exercício 4. Calcule as integrais.
, onde
é o sólido que está entre os cilindros
e
, acima do plano
e abaixo do plano
.
Exercício 4. Calcule as integrais.
, onde
é limitado pelo paraboloide
e o plano
.
Exercício 4. Calcule as integrais.
, em que
é o sólido do primeiro octante que está abaixo do paraboloide
.
Centroide Encontre o centroide da região no primeiro octante que é delimitado acima pelo cone
, abaixo pelo plano
dos lados pelo cilindro
os planos
.
Figura 3: Problema retirado da seção 15.7 do livro-texto
Figura 3: Problema retirado da seção 15.7 do livro-texto