Exercício 6. Calcule as integrais
integral0^pi4 integral0^2 pi integral0^sec phi rho^2 sen phi d rho d theta d phi.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que envolve uma integral tripla. O enunciado pede para calcular:
integral0^pi4 integral0^2 pi integral0^sec phi rho^2 sin phi , drho , dtheta , dphi
Esse tipo de integral geralmente aparece quando trabalhamos com coordenadas esféricas na matéria de cálculo multivariado. Vamos precisar integrar em relação a rho, theta e phi, seguindo os limites fornecidos.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar em relação a rho. A integral interna é:
integral0^sec phi rho^2 , drho
A antiderivada de rho^2 é rho^33, então avaliando entre 0 e sec phi:
(sec phi)^33 - 0^33 = sec^3 phi3
Agora, substituímos isso de volta na integral:
13 integral0^pi4 integral0^2 pi sec^3 phi sin phi , dtheta , dphi

Passo 3

Em seguida, vamos integrar em relação a theta. A integral é:
integral0^2 pi dtheta = 2pi
Multiplicando isso pela expressão que temos:
2pi3 integral0^pi4 sec^3 phi sin phi , dphi

Passo 4

Agora, vamos resolver a integral em relação a phi. Observamos que:
sec phi = 1cos phi e sec^3 phi sin phi = sin phicos^3 phi
Fazendo a substituição u = cos phi, temos du = -sin phi , dphi, ou seja, -du = sin phi , dphi. A integral fica:
2pi3 integralu=1^u=cos pi4 -duu^3 = 2pi3 integralcos pi4^1 duu^3
Integrando:
2pi3 [ -12u^2 ]cos pi4^1 = 2pi3 ( -12 + 12 (cos^2 pi4) )
Sabendo que cos pi4 = raiz22, temos cos^2 pi4 = 12. Substituindo:
2pi3 ( -12 + 12 cdot 12 ) = 2pi3 ( -12 + 1 ) = 2pi3 cdot 12 = pi3

Resposta

O valor da integral é pi3.

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