Exercício 4. Calcule as integrais.
integral triplaE(x+y+z) d V, em que E é o sólido do primeiro octante que está abaixo do paraboloide z=4-x^2-y^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é calcular uma integral tripla, que é basicamente somar valores numa região tridimensional. A função que vamos integrar é . A área que estamos considerando, chamada de , está no primeiro octante (ou seja, onde , e são positivos) e fica abaixo do paraboloide dado por . Para resolver isso, vamos usar coordenadas cartesianas e os limites de integração apropriados para essa região.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites de integração. Como estamos no primeiro octante, , e variam de 0 até onde o paraboloide está. Então, para cada e , vai de 0 até .

Passo 3

Agora, precisamos determinar até onde 0 = 4 - x^2 - y^2 implies x^2 + y^2 = 4 e vão. No topo do paraboloide, , então temos:
Isso é um círculo de raio 2 no plano . Mas como estamos no primeiro octante, e vão de 0 até 2, mas também precisam satisfazer .

Passo 4

Vamos reescrever a integral tripla com esses limites:
integral triplaE(x + y + z) , dV = integral0^2 integral0^raiz4 - x^2 integral0^4 - x^2 - y^2 (x + y + z) , dz , dy , dx
Aqui, integremos primeiro em relação a , depois e por último .

Passo 5

Primeiro, integramos integral0^4 - x^2 - y^2 (x + y + z) , dz = [ (x + y)z + z^22 ]0^4 - x^2 - y^2 em relação a (x + y)(4 - x^2 - y^2) + (4 - x^2 - y^2)^22 :
Substituindo os limites:

Passo 6

Agora, vamos integrar essa expressão em relação a de 0 até . Esse passo envolve resolver integrais polinomiais, que podem ser um pouco trabalhosas, mas com paciência conseguimos.

Passo 7

Depois de integrar em , restará integrar o resultado em relação a de 0 até 2. Isso nos dará o valor final da integral tripla.

Resposta

Após realizar todos os cálculos, o valor da integral tripla é .

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