Exercício 4. Calcule as integrais.
, em que é o sólido do primeiro octante que está abaixo do paraboloide .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é calcular uma integral tripla, que é basicamente somar valores numa região tridimensional. A função que vamos integrar é . A área que estamos considerando, chamada de , está no primeiro octante (ou seja, onde , e são positivos) e fica abaixo do paraboloide dado por . Para resolver isso, vamos usar coordenadas cartesianas e os limites de integração apropriados para essa região.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites de integração. Como estamos no primeiro octante, , e variam de 0 até onde o paraboloide está. Então, para cada e , vai de 0 até .

Passo 3

Agora, precisamos determinar até onde e vão. No topo do paraboloide, , então temos:
Isso é um círculo de raio 2 no plano . Mas como estamos no primeiro octante, e vão de 0 até 2, mas também precisam satisfazer .

Passo 4

Vamos reescrever a integral tripla com esses limites:
Aqui, integremos primeiro em relação a , depois e por último .

Passo 5

Primeiro, integramos em relação a :
Substituindo os limites:

Passo 6

Agora, vamos integrar essa expressão em relação a de 0 até . Esse passo envolve resolver integrais polinomiais, que podem ser um pouco trabalhosas, mas com paciência conseguimos.

Passo 7

Depois de integrar em , restará integrar o resultado em relação a de 0 até 2. Isso nos dará o valor final da integral tripla.

Resposta

Após realizar todos os cálculos, o valor da integral tripla é .

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Exercício 6. Calcule as integrais
.
Exercício 4. Calcule as integrais.
, onde é o sólido que está entre os cilindros e , acima do plano e abaixo do plano .
Centroide Encontre o centroide da região no primeiro octante que é delimitado acima pelo cone , abaixo pelo plano dos lados pelo cilindro os planos .
Figura 3: Problema retirado da seção 15.7 do livro-texto
Reescreva cada uma delas usando coordenadas polares.
a)