Exercício 4. Calcule as integrais.
, em que
é o sólido do primeiro octante que está abaixo do paraboloide
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é calcular uma integral tripla, que é basicamente somar valores numa região tridimensional. A função que vamos integrar é
. A área que estamos considerando, chamada de
, está no primeiro octante (ou seja, onde
,
e
são positivos) e fica abaixo do paraboloide dado por
. Para resolver isso, vamos usar coordenadas cartesianas e os limites de integração apropriados para essa região.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os limites de integração. Como estamos no primeiro octante,
,
e
variam de 0 até onde o paraboloide está. Então, para cada
e
,
vai de 0 até
.
Passo 3
Agora, precisamos determinar até onde
e
vão. No topo do paraboloide,
, então temos:
Isso é um círculo de raio 2 no plano
. Mas como estamos no primeiro octante,
e
vão de 0 até 2, mas também precisam satisfazer
.
Passo 4
Vamos reescrever a integral tripla com esses limites:
Aqui, integremos primeiro em relação a
, depois
e por último
.
Passo 5
Primeiro, integramos
em relação a
:
Substituindo os limites:
Passo 6
Agora, vamos integrar essa expressão em relação a
de 0 até
. Esse passo envolve resolver integrais polinomiais, que podem ser um pouco trabalhosas, mas com paciência conseguimos.
Passo 7
Depois de integrar em
, restará integrar o resultado em relação a
de 0 até 2. Isso nos dará o valor final da integral tripla.
Resposta
Após realizar todos os cálculos, o valor da integral tripla é
.
Exercícios relacionados
Exercício 6. Calcule as integrais
.
Exercício 4. Calcule as integrais.
, onde
é o sólido que está entre os cilindros
e
, acima do plano
e abaixo do plano
.
Centroide Encontre o centroide da região no primeiro octante que é delimitado acima pelo cone
, abaixo pelo plano
dos lados pelo cilindro
os planos
.
Figura 3: Problema retirado da seção 15.7 do livro-texto
Figura 3: Problema retirado da seção 15.7 do livro-texto
Reescreva cada uma delas usando coordenadas polares.
a)
a)