Determine o volume do sólido S descrito em cada caso.
a) S é limitado pelas superfícies de equações e .

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar o volume do sólido S, que é limitado pelas superfícies dadas pelas equações , e . Isso envolve conhecimentos de cálculo multivariável, especialmente no uso de coordenadas polares para facilitar os cálculos de volume.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as superfícies que delimitam o sólido S. A equação representa o plano xy, e é um paraboloide que se abre para cima. A equação descreve um círculo no plano xy.

Passo 3

Vamos reescrever a equação do círculo de uma forma mais fácil de interpretar. Podemos completar o quadrado para :
Isso mostra que o círculo tem centro no ponto (1, 0) e raio 1.

Passo 4

Para calcular o volume, é conveniente usar coordenadas polares, onde e . Nesse sistema, .

Passo 5

A equação do círculo em coordenadas polares fica:
Isso define os limites de para variando de a , já que deve ser positivo para que seja real e positivo.

Passo 6

O volume pode ser calculado integrando a altura do paraboloide sobre a área delimitada pelo círculo no plano xy:
Aqui, é o elemento de área em coordenadas polares, e é a altura .

Passo 7

Vamos simplificar a integral:
Integrando em relação a :

Passo 8

Agora, a integral para o volume fica:
Sabemos que:
Aplicando os limites de integração:

Resposta

O volume do sólido S é unidades cúbicas.

Exercícios relacionados

Reescreva cada uma delas usando coordenadas polares.
a)
Centroide Encontre o centroide da região no primeiro octante que é delimitado acima pelo cone , abaixo pelo plano dos lados pelo cilindro os planos .
Figura 3: Problema retirado da seção 15.7 do livro-texto
Esboce a região de integração e em seguida calcule a integral abaixo
onde é a região limitada pelas espirais e , sendo .
Determine a área da superfície descrita em cada caso.
a) é o subconjunto da esfera com centro na origem e raio 4 que é limitado pela superfície e que está acima do plano .