Determine o volume do sólido S descrito em cada caso.
a) S é limitado pelas superfícies de equações
e
.
a) S é limitado pelas superfícies de equações
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar o volume do sólido S, que é limitado pelas superfícies dadas pelas equações
,
e
. Isso envolve conhecimentos de cálculo multivariável, especialmente no uso de coordenadas polares para facilitar os cálculos de volume.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as superfícies que delimitam o sólido S. A equação
representa o plano xy, e
é um paraboloide que se abre para cima. A equação
descreve um círculo no plano xy.
Passo 3
Vamos reescrever a equação do círculo
de uma forma mais fácil de interpretar. Podemos completar o quadrado para
:
Isso mostra que o círculo tem centro no ponto (1, 0) e raio 1.
Passo 4
Para calcular o volume, é conveniente usar coordenadas polares, onde
e
. Nesse sistema,
.
Passo 5
A equação do círculo em coordenadas polares fica:
Isso define os limites de
para
variando de
a
, já que
deve ser positivo para que
seja real e positivo.
Passo 6
O volume
pode ser calculado integrando a altura do paraboloide
sobre a área delimitada pelo círculo
no plano xy:
Aqui,
é o elemento de área em coordenadas polares, e
é a altura
.
Passo 7
Vamos simplificar a integral:
Integrando em relação a
:
Passo 8
Agora, a integral para o volume fica:
Sabemos que:
Aplicando os limites de integração:
Resposta
O volume do sólido S é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Reescreva cada uma delas usando coordenadas polares.
a)
a)
Centroide Encontre o centroide da região no primeiro octante que é delimitado acima pelo cone
, abaixo pelo plano
dos lados pelo cilindro
os planos
.
Figura 3: Problema retirado da seção 15.7 do livro-texto
Figura 3: Problema retirado da seção 15.7 do livro-texto
Esboce a região de integração e em seguida calcule a integral abaixo
onde
é a região limitada pelas espirais
e
, sendo
.
Determine a área da superfície
descrita em cada caso.
a) é o subconjunto da esfera com centro na origem e raio 4 que é limitado pela superfície
e que está acima do plano
.
a)