Reescreva cada uma delas usando coordenadas polares.
a) integral0^1 integralx^2^x p(x, y) d y d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que reescrever uma integral dupla que está nas coordenadas cartesianas para coordenadas polares. O enunciado é:
integral0^1 integralx^2^x p(x, y) , dy , dx
Então, vamos usar conhecimento de cálculo e mudança de coordenadas para transformar essa integral.

Passo 2

Primeiro, vamos entender quais são os limites de integração na coordenada e . Aqui, vai de 0 a 1, e para cada , vai de a . Isso define uma região no primeiro quadrante.

Passo 3

Em coordenadas polares, a gente usa x = r cos(theta) e y = r sin(theta) onde:
dx , dy = r , dr , dtheta
E o diferencial de área muda para:
Então, vamos precisar expressar os limites de e em termos de e .

Passo 4

Vamos identificar os limites para . Como e são positivos, varia de 0 a . Isso porque na reta , .

Passo 5

Agora, vamos encontrar os limites para r sin(theta) = (r cos(theta))^2 . Quando r sin(theta) = r^2 cos^2(theta) , substituindo nas coordenadas polares:
r = sin(theta)cos^2(theta)
r sin(theta) = r cos(theta)
sin(theta) = cos(theta)
E no limite superior :
Isso ocorre em , que já definimos.

Passo 6

Então, para cada entre 0 e , varia de 0 até . Portanto, a integral em coordenadas polares fica:

Resposta

integral0^pi4 integral0^sin(theta)cos^2(theta) p(r cos(theta), r sin(theta)) , r , dr , dtheta

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