Reescreva cada uma delas usando coordenadas polares.
a)
a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que reescrever uma integral dupla que está nas coordenadas cartesianas para coordenadas polares. O enunciado é:
Então, vamos usar conhecimento de cálculo e mudança de coordenadas para transformar essa integral.
Passo 2
Primeiro, vamos entender quais são os limites de integração na coordenada
e
. Aqui,
vai de 0 a 1, e para cada
,
vai de
a
. Isso define uma região no primeiro quadrante.
Passo 3
Em coordenadas polares, a gente usa
e
onde:
E o diferencial de área muda para:
Então, vamos precisar expressar os limites de
e
em termos de
e
.
Passo 4
Vamos identificar os limites para
. Como
e
são positivos,
varia de 0 a
. Isso porque na reta
,
.
Passo 5
Agora, vamos encontrar os limites para
. Quando
, substituindo nas coordenadas polares:
E no limite superior
:
Isso ocorre em
, que já definimos.
Passo 6
Então, para cada
entre 0 e
,
varia de 0 até
. Portanto, a integral em coordenadas polares fica:
Resposta
Exercícios relacionados
Centroide Encontre o centroide da região no primeiro octante que é delimitado acima pelo cone
, abaixo pelo plano
dos lados pelo cilindro
os planos
.
Figura 3: Problema retirado da seção 15.7 do livro-texto
Figura 3: Problema retirado da seção 15.7 do livro-texto
Exercício 4. Calcule as integrais.
, em que
é o sólido do primeiro octante que está abaixo do paraboloide
.
Determine o volume do sólido S descrito em cada caso.
a) S é limitado pelas superfícies de equações e
.
a) S é limitado pelas superfícies de equações
Esboce a região de integração e em seguida calcule a integral abaixo
onde
é a região limitada pelas espirais
e
, sendo
.