Reescreva cada uma delas usando coordenadas polares.
a)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que reescrever uma integral dupla que está nas coordenadas cartesianas para coordenadas polares. O enunciado é:
Então, vamos usar conhecimento de cálculo e mudança de coordenadas para transformar essa integral.

Passo 2

Primeiro, vamos entender quais são os limites de integração na coordenada e . Aqui, vai de 0 a 1, e para cada , vai de a . Isso define uma região no primeiro quadrante.

Passo 3

Em coordenadas polares, a gente usa e onde:
E o diferencial de área muda para:
Então, vamos precisar expressar os limites de e em termos de e .

Passo 4

Vamos identificar os limites para . Como e são positivos, varia de 0 a . Isso porque na reta , .

Passo 5

Agora, vamos encontrar os limites para . Quando , substituindo nas coordenadas polares:
E no limite superior :
Isso ocorre em , que já definimos.

Passo 6

Então, para cada entre 0 e , varia de 0 até . Portanto, a integral em coordenadas polares fica:

Resposta

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Centroide Encontre o centroide da região no primeiro octante que é delimitado acima pelo cone , abaixo pelo plano dos lados pelo cilindro os planos .
Figura 3: Problema retirado da seção 15.7 do livro-texto
Exercício 4. Calcule as integrais.
, em que é o sólido do primeiro octante que está abaixo do paraboloide .
Determine o volume do sólido S descrito em cada caso.
a) S é limitado pelas superfícies de equações e .
Esboce a região de integração e em seguida calcule a integral abaixo
onde é a região limitada pelas espirais e , sendo .