Uma certa bola tem a seguinte propriedade: cada vez que cai a partir de uma altura h em uma superfície dura e nivelada, ela volta até uma altura r h, onde 0 < r < 1. Suponha que a bola seja lançada de uma altura inicial de H metros. Supondo que a bola continua a pular indefinidamente, calcule a distância total que ela percorre.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma bola que, quando cai de uma altura h, volta a uma altura r h, onde . A bola é lançada de uma altura inicial H metros e continua a pular para sempre. Nosso objetivo é calcular a distância total que a bola percorre durante todos esses saltos. Para resolver isso, vamos usar conceitos de progressões geométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar os movimentos da bola:
  1. Queda Inicial: A bola cai da altura H.
  2. Primeiro Salto: Ela sobe até a altura .
  3. Segunda Queda: Depois, cai dessa altura .
  4. Segundo Salto: Sobe até .
  5. Terceira Queda: Cai de .
  6. E assim por diante…

Passo 3

Agora, vamos calcular a distância percorrida em cada etapa:
  • Queda Inicial: H metros.
  • Primeiro Salto + Segunda Queda: metros.
  • Segundo Salto + Terceira Queda: metros.
  • Terceiro Salto + Quarta Queda: metros.
  • … e assim por diante.

Passo 4

A distância total D percorrida pela bola é a soma de todas essas partes:
Perceba que além da queda inicial H, o resto da soma é uma progressão geométrica com a razão r.

Passo 5

Para somar essa série infinita, usamos a fórmula da soma de uma progressão geométrica infinita:
onde:
  • a é o primeiro termo da série,
  • q é a razão da série.
No nosso caso, a série a partir de tem e .
Portanto:

Passo 6

Finalmente, somamos essa série à queda inicial H:
Podemos simplificar isso colocando o H em evidência:

Resposta

A distância total que a bola percorre é:

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