Uma certa bola tem a seguinte propriedade: cada vez que cai a partir de uma altura
em uma superfície dura e nivelada, ela volta até uma altura
, onde
. Suponha que a bola seja lançada de uma altura inicial de
metros. Supondo que a bola continua a pular indefinidamente, calcule a distância total que ela percorre.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma bola que, quando cai de uma altura
, volta a uma altura
, onde
. A bola é lançada de uma altura inicial
metros e continua a pular para sempre. Nosso objetivo é calcular a distância total que a bola percorre durante todos esses saltos. Para resolver isso, vamos usar conceitos de progressões geométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar os movimentos da bola:
- Queda Inicial: A bola cai da altura
. - Primeiro Salto: Ela sobe até a altura
. - Segunda Queda: Depois, cai dessa altura
. - Segundo Salto: Sobe até
. - Terceira Queda: Cai de
. - E assim por diante…
Passo 3
Agora, vamos calcular a distância percorrida em cada etapa:
- Queda Inicial:
metros. - Primeiro Salto + Segunda Queda:
metros. - Segundo Salto + Terceira Queda:
metros. - Terceiro Salto + Quarta Queda:
metros. - … e assim por diante.
Passo 4
A distância total
percorrida pela bola é a soma de todas essas partes:
Perceba que além da queda inicial
, o resto da soma é uma progressão geométrica com a razão
.
Passo 5
Para somar essa série infinita, usamos a fórmula da soma de uma progressão geométrica infinita:
onde:
-
é o primeiro termo da série, -
é a razão da série.
No nosso caso, a série a partir de
tem
e
.
Portanto:
Passo 6
Finalmente, somamos essa série à queda inicial
:
Podemos simplificar isso colocando o
em evidência:
Resposta
A distância total que a bola percorre é:
Exercícios relacionados
Expresse
como a soma de uma série de potências e encontre o intervalo de convergência [Veja p. 674 do material]
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série
[O raio de convergência é
e o intervalo de convergência é
]
Encontre uma representação em série de potências para
[Veja p. 675 do material]
Resolva as equações:
;