Para uma certa corda, as três freqüências sucessivas de ressonância são 75,125 e 175 Hz . (a) Achar as razões entre cada par de freqüências de ressonância sucessivas. (b) Como será possível dizer se estas frequiências são as de uma corda fixa nas duas extremidades ou fixa apenas numa extremidade? © Qual é a frequíncia fundamental? (d) Quais os harmônicos que correspondem a estas frequências? (
) Se a velocidade das ondas transversais nesta corda for
, achar o comprimento da corda.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre as frequências de ressonância de uma corda e nos pede para encontrar algumas características dela. A matéria aqui é sobre ondas estacionárias em cordas, que envolve conceitos como harmônicos, frequência fundamental e velocidade das ondas. Para resolver, vamos precisar entender como as frequências estão relacionadas aos harmônicos e usar fórmulas de ondas em cordas fixas.
Passo 2
Primeiro, vamos abordar a parte (a): Achar as razões entre cada par de frequências de ressonância sucessivas.
As frequências de ressonância sucessivas são dadas: 75 Hz, 125 Hz e 175 Hz. Vamos calcular as razões entre elas.
A razão entre a segunda e a primeira frequência:
A razão entre a terceira e a segunda frequência:
Passo 3
Agora, vamos para a parte (b): Como será possível dizer se estas frequências são as de uma corda fixa nas duas extremidades ou fixa apenas numa extremidade?
Em uma corda fixa nas duas extremidades, as frequências de ressonância são múltiplos inteiros da frequência fundamental, ou seja,
, onde
Já se a corda é fixa apenas em uma extremidade, as frequências são múltiplos ímpares da frequência fundamental, ou seja,
, onde
Observando as razões das frequências sucessivas obtidas na parte (a), que não correspondem a múltiplos inteiros ou ímpares, podemos inferir que a corda é fixa nas duas extremidades, pois os múltiplos inteiros são mais consistentes com as razões encontradas.
Passo 4
Vamos para a parte ©: Qual é a frequência fundamental?
Sabemos que em uma corda fixa nas duas extremidades, as frequências são
.
Dadas as frequências 75 Hz, 125 Hz e 175 Hz, vamos verificar se são múltiplos inteiros de uma frequência fundamental
.
Dividindo cada frequência por um número inteiro:
- 75 Hz poderia ser
- 125 Hz poderia ser
- 175 Hz poderia ser
Parece que a frequência fundamental
é 25 Hz.
Passo 5
Agora, a parte (d): Quais os harmônicos que correspondem a estas frequências?
Com a frequência fundamental
Hz, os harmônicos são múltiplos inteiros de
:
Então:
- 75 Hz:
(3º harmônico) - 125 Hz:
(5º harmônico) - 175 Hz:
(7º harmônico)
Passo 6
Finalmente, a parte (e): Se a velocidade das ondas transversais nesta corda for
, achar o comprimento da corda.
Usamos a fórmula da frequência para uma corda fixa nas duas extremidades:
Onde:
-
é a frequência do harmônico -
é a velocidade da onda -
é o comprimento da corda
Usando o 1º harmônico (
,
Hz):
Resposta
(a) As razões são
e
.
(b) As frequências indicam que a corda é fixada nas duas extremidades.
© A frequência fundamental é 25 Hz.
(d) As frequências correspondem ao 3º, 5º e 7º harmônicos.
(e) O comprimento da corda é 8 metros.
(b) As frequências indicam que a corda é fixada nas duas extremidades.
© A frequência fundamental é 25 Hz.
(d) As frequências correspondem ao 3º, 5º e 7º harmônicos.
(e) O comprimento da corda é 8 metros.