A energia cinética de um segmento De de uma corda vibrante está dada por
De
(a) Achar a energia cinética total do n-ésimo modo de vibração de uma corda de comprimento L, fixa nas duas extremidades. (b) Dar a energia cinética máxima da corda. © Qual a função de onda quando a energia cinética tiver o valor máximo? (d) Mostrar que a energia cinética máxima no n-ésimo modo é proporcional a n^2 A^2 n.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre a energia cinética de uma corda vibrante, que está dividida em segmentos pequenos. Vamos usar conceitos de física relacionados a ondas e vibrações em cordas fixas. Para isso, vamos precisar entender como calcular a energia cinética total de diferentes modos de vibração, identificar quando essa energia é máxima, e relacionar essa energia com a frequência dos modos. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um modo de vibração. Quando uma corda está fixa nas duas extremidades e vibra, ela pode oscilar de várias maneiras diferentes chamadas de modos de vibração. Cada modo tem uma frequência específica e uma forma particular de ondulação.

Passo 3

A energia cinética total da corda é a soma da energia cinética de todos os pequenos segmentos que a compõem. A expressão dada para a energia cinética de um segmento Δm é:
De
Aqui, é a densidade linear de massa da corda, é a velocidade vertical do segmento, e é o comprimento do segmento.

Passo 4

Para encontrar a energia cinética total K = integral0^L 12 mu ( partial ypartial t )^2 dx , integramos a energia cinética de todos os segmentos ao longo do comprimento da corda:

Passo 5

Vamos considerar o n-ésimo modo de vibração. A forma de onda para esse modo é dada por:
yn(x, t) = An sin( npi xL ) cos(omegan t)
Onde:
  • é a amplitude,
  • é o número do modo,
  • é a frequência angular,
  • é a tensão na corda.

Passo 6

Calculamos a derivada de partial ynpartial t = -An sin( npi xL ) omegan sin(omegan t) em relação ao tempo ( partial ynpartial t )^2 = An^2 sin^2( npi xL ) omegan^2 sin^2(omegan t) :
Agora, elevamos ao quadrado:

Passo 7

Substituímos isso na expressão da energia cinética total:
K = 12 mu An^2 omegan^2 integral0^L sin^2( npi xL ) sin^2(omegan t) dx

Passo 8

A integral K = 12 mu An^2 omegan^2 cdot L2 cdot sin^2(omegan t) = 14 mu L An^2 omegan^2 sin^2(omegan t) é conhecida e vale . Assim:

Passo 9

A energia cinética máxima ocorre quando Kmax = 14 mu L An^2 omegan^2 . Então, a energia cinética máxima é:

Passo 10

Sabemos que Kmax = 14 mu L An^2 ( npiL raizTmu )^2 = 14 mu L An^2 cdot n^2 pi^2 TL^2 mu = n^2 pi^2 T An^24 L . Substituindo na expressão de :

Passo 11

Observamos que é proporcional a , já que todos os outros termos são constantes para um dado modo de vibração.

Resposta

(a) A energia cinética total do n-ésimo modo de vibração é .
(b) A energia cinética máxima da corda é .
© A função de onda quando a energia cinética está no valor máximo é .
(d) A energia cinética máxima no n-ésimo modo é proporcional a , conforme .

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