A energia cinética de um segmento
de uma corda vibrante está dada por
(a) Achar a energia cinética total do
-ésimo modo de vibração de uma corda de comprimento
, fixa nas duas extremidades. (b) Dar a energia cinética máxima da corda. © Qual a função de onda quando a energia cinética tiver o valor máximo? (d) Mostrar que a energia cinética máxima no
-ésimo modo é proporcional a
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre a energia cinética de uma corda vibrante, que está dividida em segmentos pequenos. Vamos usar conceitos de física relacionados a ondas e vibrações em cordas fixas. Para isso, vamos precisar entender como calcular a energia cinética total de diferentes modos de vibração, identificar quando essa energia é máxima, e relacionar essa energia com a frequência dos modos. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um modo de vibração. Quando uma corda está fixa nas duas extremidades e vibra, ela pode oscilar de várias maneiras diferentes chamadas de modos de vibração. Cada modo tem uma frequência específica e uma forma particular de ondulação.
Passo 3
A energia cinética total da corda é a soma da energia cinética de todos os pequenos segmentos que a compõem. A expressão dada para a energia cinética de um segmento Δm é:
Aqui,
é a densidade linear de massa da corda,
é a velocidade vertical do segmento, e
é o comprimento do segmento.
Passo 4
Para encontrar a energia cinética total
, integramos a energia cinética de todos os segmentos ao longo do comprimento da corda:
Passo 5
Vamos considerar o n-ésimo modo de vibração. A forma de onda para esse modo é dada por:
Onde:
-
é a amplitude, -
é o número do modo, -
é a frequência angular, -
é a tensão na corda.
Passo 6
Calculamos a derivada de
em relação ao tempo
:
Agora, elevamos ao quadrado:
Passo 7
Substituímos isso na expressão da energia cinética total:
Passo 8
A integral
é conhecida e vale
. Assim:
Passo 9
A energia cinética máxima ocorre quando
. Então, a energia cinética máxima
é:
Passo 10
Sabemos que
. Substituindo na expressão de
:
Passo 11
Observamos que
é proporcional a
, já que todos os outros termos são constantes para um dado modo de vibração.
Resposta
(a) A energia cinética total do n-ésimo modo de vibração é
.
(b) A energia cinética máxima da corda é
.
© A função de onda quando a energia cinética está no valor máximo é
.
(d) A energia cinética máxima no n-ésimo modo é proporcional a
, conforme
.