(a) Com a função de onda do Problema 39, achar a velocidade de um segmento da corda, num ponto x fixo, em função do tempo. (b) Em que ponto a velocidade é máxima em qualquer instante? Qual é a velocidade máxima neste ponto? © Achar a aceleração de um segmento de corda num certo ponto x em função do tempo. (d) Qual o ponto que tem a maior aceleração? Qual a aceleração máxima deste ponto?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma função de onda que descreve o movimento de uma corda (provavelmente uma onda senoidal), e precisamos:
a) Encontrar a velocidade de um ponto fixo na corda em função do tempo.
b) Descobrir em que ponto essa velocidade é máxima em qualquer instante e qual é esse valor máximo.
c) Calcular a aceleração desse ponto em função do tempo.
d) Identificar o ponto com a maior aceleração e qual é essa aceleração máxima.
Para resolver isso, vamos precisar lembrar de algumas coisas de física das ondas e cálculo, como derivadas de funções de onda para obter velocidade e aceleração.

Passo 2

Vamos começar pela parte (a). A velocidade de um ponto na corda é a derivada da posição desse ponto em relação ao tempo. Se a função de onda for v(x,t) = partial y(x,t)partial t , então a velocidade é dada por:
Isso significa que precisamos derivar a função de onda em relação ao tempo para encontrar a velocidade.

Passo 3

Assumindo que a função de onda seja uma onda senoidal, podemos expressá-la como:
y(x,t) = A sin(kx - omega t)
Onde:
  • é a amplitude da onda,
  • é o número de onda,
  • é a frequência angular,
  • é a posição ao longo da corda,
  • é o tempo.

Passo 4

Agora, vamos derivar v(x,t) = partial ypartial t = partialpartial t [A sin(kx - omega t)] = -A omega cos(kx - omega t) em relação ao tempo para encontrar a velocidade:
v(x,t) = -A omega cos(kx - omega t)
Então, a velocidade do ponto em função do tempo é:

Passo 5

Passando para a parte (b), queremos saber em que ponto a velocidade é máxima em qualquer instante e qual é esse valor máximo.
A função atinge seu valor máximo quando o cosseno é igual a 1 ou -1. Isso acontece quando
Mas estamos falando de postos fixos , então para um dado , o valor máximo de é .
No entanto, a velocidade não depende de para o valor máximo, já que a amplitude é a mesma para todos os pontos. Portanto, todos os pontos da corda podem atingir essa velocidade máxima dependendo do tempo.

Passo 6

Agora, vamos para a parte ©. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou a segunda derivada da posição em relação ao tempo.
Começamos com:
v(x,t) = -A omega cos(kx - omega t)
Derivando novamente em relação ao tempo:
a(x,t) = partial vpartial t = partialpartial t [-A omega cos(kx - omega t)] = A omega^2 sin(kx - omega t)
Então, a aceleração do ponto a(x,t) = A omega^2 sin(kx - omega t) em função do tempo é:

Passo 7

Finalmente, na parte (d), queremos saber qual ponto tem a maior aceleração e qual é esse valor máximo.
A função atinge seu valor máximo quando o seno é igual a 1 ou -1. Assim, o valor máximo de é .
Similar à velocidade, todos os pontos da corda podem atingir essa aceleração máxima dependendo do tempo.

Resposta

a) A velocidade do ponto em função do tempo é .
b) Todos os pontos podem atingir a velocidade máxima de em qualquer instante.
c) A aceleração do ponto em função do tempo é .
d) Todos os pontos podem atingir a aceleração máxima de dependendo do instante.

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