(a) Com a função de onda do Problema 39, achar a velocidade de um segmento da corda, num ponto
fixo, em função do tempo. (b) Em que ponto a velocidade é máxima em qualquer instante? Qual é a velocidade máxima neste ponto? © Achar a aceleração de um segmento de corda num certo ponto
em função do tempo. (d) Qual o ponto que tem a maior aceleração? Qual a aceleração máxima deste ponto?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma função de onda que descreve o movimento de uma corda (provavelmente uma onda senoidal), e precisamos:
a) Encontrar a velocidade de um ponto fixo na corda em função do tempo.
b) Descobrir em que ponto essa velocidade é máxima em qualquer instante e qual é esse valor máximo.
c) Calcular a aceleração desse ponto em função do tempo.
d) Identificar o ponto com a maior aceleração e qual é essa aceleração máxima.
b) Descobrir em que ponto essa velocidade é máxima em qualquer instante e qual é esse valor máximo.
c) Calcular a aceleração desse ponto em função do tempo.
d) Identificar o ponto com a maior aceleração e qual é essa aceleração máxima.
Para resolver isso, vamos precisar lembrar de algumas coisas de física das ondas e cálculo, como derivadas de funções de onda para obter velocidade e aceleração.
Passo 2
Vamos começar pela parte (a). A velocidade de um ponto na corda é a derivada da posição desse ponto em relação ao tempo. Se a função de onda for
, então a velocidade
é dada por:
Isso significa que precisamos derivar a função de onda em relação ao tempo para encontrar a velocidade.
Passo 3
Assumindo que a função de onda seja uma onda senoidal, podemos expressá-la como:
Onde:
-
é a amplitude da onda, -
é o número de onda, -
é a frequência angular, -
é a posição ao longo da corda, -
é o tempo.
Passo 4
Agora, vamos derivar
em relação ao tempo para encontrar a velocidade:
Então, a velocidade do ponto
em função do tempo é:
Passo 5
Passando para a parte (b), queremos saber em que ponto a velocidade é máxima em qualquer instante e qual é esse valor máximo.
A função
atinge seu valor máximo quando o cosseno é igual a 1 ou -1. Isso acontece quando
Mas estamos falando de postos fixos
, então para um dado
, o valor máximo de
é
.
No entanto, a velocidade não depende de
para o valor máximo, já que a amplitude é a mesma para todos os pontos. Portanto, todos os pontos da corda podem atingir essa velocidade máxima dependendo do tempo.
Passo 6
Agora, vamos para a parte ©. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou a segunda derivada da posição em relação ao tempo.
Começamos com:
Derivando novamente em relação ao tempo:
Então, a aceleração do ponto
em função do tempo é:
Passo 7
Finalmente, na parte (d), queremos saber qual ponto tem a maior aceleração e qual é esse valor máximo.
A função
atinge seu valor máximo quando o seno é igual a 1 ou -1. Assim, o valor máximo de
é
.
Similar à velocidade, todos os pontos da corda podem atingir essa aceleração máxima dependendo do tempo.
Resposta
a) A velocidade do ponto
em função do tempo é
.
b) Todos os pontos podem atingir a velocidade máxima de
em qualquer instante.
c) A aceleração do ponto
em função do tempo é
.
d) Todos os pontos podem atingir a aceleração máxima de
dependendo do instante.