Ondas com a freqüência de 200 Hz e amplitude de 1 cm movem-se numa corda de 20 m que tem a massa de 0,06 kg e a tensão de 50 N . (a) Qual a energia total das ondas na corda? (b) Achar a potência transmitida que passa por um dado ponto da corda.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma onda com frequência de 200 Hz e amplitude de 1 cm que está se movendo em uma corda de 20 metros, com massa de 0,06 kg e tensão de 50 N. Precisamos calcular:
a) A energia total das ondas na corda.
b) A potência transmitida que passa por um ponto específico da corda.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de ondas em cordas, como energia das ondas e potência transmitida. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos converter todas as unidades para o Sistema Internacional de Unidades (SI) para facilitar os cálculos:
  • Amplitude
  • Massa
  • Comprimento
  • Frequência
  • Tensão

Passo 3

Vamos calcular a massa por unidade de comprimento da corda, que é chamada de densidade linear mu = mL = 0,06 , kg20 , m = 0,003 , kg/m . Isso nos ajuda a entender como a massa está distribuída ao longo da corda.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a velocidade da onda v = raizTmu na corda. A velocidade de uma onda em uma corda depende da tensão e da densidade linear:
v = raiz50 , N0,003 , kg/m
Substituindo os valores que temos:
v = raiz16666,67 , m^2/s^2
v approx 129,10 , m/s

Passo 5

Vamos agora calcular a frequência angular omega = 2pi f , que é relacionada à frequência omega = 2pi times 200 pela fórmula:
omega = 400pi , rad/s
Substituindo :

Passo 6

Para encontrar a energia total das ondas na corda, usamos a fórmula da energia por unidade de comprimento de uma onda em uma corda:
Etotal = 12 mu A^2 omega^2 L
Onde:
  • Etotal = 12 times 0,003 , kg/m times (0,01 , m)^2 times (400pi , rad/s)^2 times 20 , m é a densidade linear
  • é a amplitude
  • é a frequência angular
  • é o comprimento da corda
Substituindo os valores:

Passo 7

Vamos calcular passo a passo:
Primeiro, calcule (0,01 , m)^2 = 0,0001 , m^2 :
(400pi , rad/s)^2 = 160000pi^2 , rad^2/s^2
Depois, calcule Etotal = 12 times 0,003 times 0,0001 times 160000pi^2 times 20 :
Etotal = 0,0015 times 0,0001 times 160000pi^2 times 20
Agora, junte tudo:
Etotal = 0,0015 times 0,0001 times 160000 times 20 times pi^2
Multiplicando os números:
Etotal = 0,0015 times 0,0001 times 3.200.000 times pi^2
Etotal = 0,0015 times 320 times pi^2
Etotal = 0,48 times pi^2
Etotal approx 0,48 times 9,8696
Etotal approx 4,744 , J

Passo 8

Agora, vamos calcular a potência transmitida P = EtotalTperíodo pela onda. A potência é a energia transmitida por unidade de tempo. Podemos usar a seguinte fórmula:
Tperíodo = 1f = 1200 , s = 0,005 , s í
Onde P = 4,744 , J0,005 , s í é o período da onda, que é o inverso da frequência:
P = 948,8 , W í
Substituindo os valores:

Resposta

a) A energia total das ondas na corda é aproximadamente 4,74 J.
b) A potência transmitida que passa por um dado ponto da corda é aproximadamente 949 W.

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