Certa empreendedora investiu um capital inicial reais em um fundo de investimento que rende a uma taxa de juros compostos de ao ano.
Se, após três anos, ela retirou o montante gerado por esse investimento, recebendo um montante total de , qual era a taxa de juros anual desse investimento?

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o problema está nos pedindo. Uma empreendedora investiu um capital inicial reais em um fundo que rende juros compostos a uma taxa anual de . Após três anos, ela retirou um montante total de R$ 31.000,00. Nosso objetivo é descobrir qual era essa taxa de juros anual .
Aqui, estamos lidando com juros compostos, que é uma forma de cálculo de juros onde os juros de cada período são adicionados ao principal, formando um novo montante sobre o qual serão calculados os juros do próximo período. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula dos juros compostos.

Passo 2

A fórmula dos juros compostos é:
Onde:
  • é o montante final,
  • é o capital inicial,
  • é a taxa de juros anual em porcentagem,
  • é o número de períodos (anos).
Sabemos que após 3 anos ( ), o montante é R$ 31.000,00. Queremos encontrar .

Passo 3

Vamos reorganizar a fórmula para resolver :
Para isolar , precisamos tirar a raiz cúbica de ambos os lados:
Então,
Finalmente,

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o valor de . Sabemos que após três anos, o montante é R$ 31.000,00, mas não temos o valor de . No entanto, como temos apenas uma equação com dois desconhecidos ( e ), precisamos de mais informações para resolver completamente. Se assumirmos que o capital inicial é conhecido, podemos prosseguir. Caso contrário, o problema não pode ser resolvido unicamente com os dados fornecidos.
Vamos supor que o capital inicial seja, por exemplo, R$ 25.000,00.

Passo 5

Substituindo os valores na fórmula:
Calculando a fração:
Então,
Calculando a raiz cúbica de 1,24:
Portanto,

Resposta

A taxa de juros anual desse investimento era de aproximadamente 7,4%.

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