Uma certa empresa possui sua função de produção modelada por:
. O nível de investimento é da ordem de
(estrutura e maquinário) e
em trabalho. Determine e interprete as produtividades marginais envolvidas no caso.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício de Função de Produção, que é um conteúdo da Microeconomia. A empresa nos dá a função de produção
onde
representa o capital e
o trabalho. Além disso, sabemos que a empresa investiu R$ 25.000,00 em capital e R$ 30.000,00 em trabalho. Nosso objetivo é determinar e interpretar as produtividades marginais envolvidas nesse caso. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função de produção em relação a
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é produtividade marginal. Simplificando, a produtividade marginal do capital (
) mostra quanto a produção aumenta se a empresa investir um pouquinho mais em capital, mantendo o trabalho constante. Já a produtividade marginal do trabalho (
) indica quanto a produção cresce se a empresa contratar mais um pouco de trabalho, mantendo o capital constante.
Passo 3
Para encontrar essas produtividades marginais, vamos calcular as derivadas parciais da função de produção em relação a
e
.
A função de produção é:
Produtividade Marginal do Capital (
):
Produtividade Marginal do Trabalho (
):
Passo 4
Agora, vamos interpretar essas fórmulas.
-
PMK: A produtividade marginal do capital depende tanto do trabalho quanto do capital utilizados. Quanto mais capital a empresa investe, menor será o acréscimo na produção por um aumento adicional no capital, devido ao expoente negativo de
. -
PML: Similarmente, a produtividade marginal do trabalho depende do capital e do trabalho. Quanto mais trabalho é contratado, menor será o aumento na produção por um acréscimo adicional de trabalho, também por causa do expoente negativo de
.
Passo 5
Se quisermos calcular os valores numéricos das produtividades marginais com os investimentos dados, precisaríamos saber os preços unitários de
e
para converter os valores em reais para quantidades. Como essa informação não foi fornecida, podemos apenas deixar as fórmulas gerais.
Resposta
As produtividades marginais são:
Essas expressões mostram como a produção aumenta com pequenas variações nos investimentos em capital e trabalho, respectivamente.
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Encontre as derivadas parciais de
.
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.
Encontre as derivadas parciais de
.
A função utilidade de um individuo assume a forma
onde
é utilidade total e
e
soa as quantidades de duas mercadorias consumidas.
Encontre a função de utilidade marginal de cada uma das duas mercadorias.
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