Uma certa empresa possui sua função de produção modelada por: . O nível de investimento é da ordem de (estrutura e maquinário) e em trabalho. Determine e interprete as produtividades marginais envolvidas no caso.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício de Função de Produção, que é um conteúdo da Microeconomia. A empresa nos dá a função de produção onde representa o capital e o trabalho. Além disso, sabemos que a empresa investiu R$ 25.000,00 em capital e R$ 30.000,00 em trabalho. Nosso objetivo é determinar e interpretar as produtividades marginais envolvidas nesse caso. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função de produção em relação a e .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é produtividade marginal. Simplificando, a produtividade marginal do capital ( ) mostra quanto a produção aumenta se a empresa investir um pouquinho mais em capital, mantendo o trabalho constante. Já a produtividade marginal do trabalho ( ) indica quanto a produção cresce se a empresa contratar mais um pouco de trabalho, mantendo o capital constante.

Passo 3

Para encontrar essas produtividades marginais, vamos calcular as derivadas parciais da função de produção em relação a e .
A função de produção é:
Produtividade Marginal do Capital ( ):
Produtividade Marginal do Trabalho ( ):

Passo 4

Agora, vamos interpretar essas fórmulas.
  • PMK: A produtividade marginal do capital depende tanto do trabalho quanto do capital utilizados. Quanto mais capital a empresa investe, menor será o acréscimo na produção por um aumento adicional no capital, devido ao expoente negativo de .
  • PML: Similarmente, a produtividade marginal do trabalho depende do capital e do trabalho. Quanto mais trabalho é contratado, menor será o aumento na produção por um acréscimo adicional de trabalho, também por causa do expoente negativo de .

Passo 5

Se quisermos calcular os valores numéricos das produtividades marginais com os investimentos dados, precisaríamos saber os preços unitários de e para converter os valores em reais para quantidades. Como essa informação não foi fornecida, podemos apenas deixar as fórmulas gerais.

Resposta

As produtividades marginais são:
Essas expressões mostram como a produção aumenta com pequenas variações nos investimentos em capital e trabalho, respectivamente.

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