Encontre as derivadas parciais de segunda ordem de .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar as derivadas parciais de segunda ordem da função . Aqui vamos mexer com cálculo de derivadas parciais, especificamente de segunda ordem, que é uma continuação das derivadas parciais de primeira ordem. Para isso, vamos precisar lembrar como derivar funções que têm mais de uma variável.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função .
A função dada é , que também pode ser escrita como .
Para encontrar a derivada parcial em relação a , tratamos como uma constante:
Agora, para a derivada parcial em relação a :

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem.
Primeiro, a segunda derivada parcial em relação a :
Em seguida, a segunda derivada parcial mista, primeiro em relação a e depois a :
Agora, a segunda derivada parcial em relação a :

Resposta

As derivadas parciais de segunda ordem da função são:

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Sendo , calcule as derivadas parciais de segunda ordem de .
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