Encontre as derivadas parciais de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar as derivadas parciais da função
. Isso significa que vamos calcular como a função muda em relação a
e em relação a
, considerando uma variável de cada vez enquanto a outra permanece constante. Para isso, vamos precisar aplicar as regras de derivação, especialmente a derivada de funções exponenciais e a regra do produto quando necessário.
Passo 2
Vamos começar calculando a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Primeiro, lembrando que ao derivar em relação a
, tratamos
como uma constante.
A função é:
Vamos derivar termo por termo:
- Derivada de
em relação a :
- Derivada de
em relação a :
- Derivada de
em relação a :
Aqui usamos a regra da cadeia, onde derivamos a exponencial e multiplicamos pela derivada do expoente
em relação a
, que é
.
- Derivada de
em relação a :
Agora, somando todas as derivadas:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Dessa vez, tratamos
como uma constante.
Vamos derivar termo por termo novamente:
- Derivada de
em relação a :
Porque
é tratado como uma constante e a derivada de uma constante é zero.
- Derivada de
em relação a :
- Derivada de
em relação a :
Novamente, usamos a regra da cadeia. Derivamos a exponencial e multiplicamos pela derivada do expoente
em relação a
, que é
.
- Derivada de
em relação a :
Somando todas as derivadas:
Resposta
As derivadas parciais da função são:
e
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.
Sendo
, calcule as derivadas parciais de segunda ordem de
.
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. O nível de investimento é da ordem de
(estrutura e maquinário) e
em trabalho. Determine e interprete as produtividades marginais envolvidas no caso.
Encontre as derivadas parciais de
.