Encontre as derivadas parciais de f(x, y) = 5 x^3 - 4 x y + 3 e^(x y^3) - 5.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar as derivadas parciais da função . Isso significa que vamos calcular como a função muda em relação a e em relação a , considerando uma variável de cada vez enquanto a outra permanece constante. Para isso, vamos precisar aplicar as regras de derivação, especialmente a derivada de funções exponenciais e a regra do produto quando necessário.

Passo 2

Vamos começar calculando a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
Primeiro, lembrando que ao derivar em relação a , tratamos como uma constante.
A função é:
Vamos derivar termo por termo:
  1. Derivada de em relação a :
  1. Derivada de em relação a :
  1. Derivada de em relação a :
Aqui usamos a regra da cadeia, onde derivamos a exponencial e multiplicamos pela derivada do expoente em relação a , que é .
  1. Derivada de em relação a :
Agora, somando todas as derivadas:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
Dessa vez, tratamos como uma constante.
Vamos derivar termo por termo novamente:
  1. Derivada de em relação a :
Porque é tratado como uma constante e a derivada de uma constante é zero.
  1. Derivada de em relação a :
  1. Derivada de em relação a :
Novamente, usamos a regra da cadeia. Derivamos a exponencial e multiplicamos pela derivada do expoente em relação a , que é .
  1. Derivada de em relação a :
Somando todas as derivadas:

Resposta

As derivadas parciais da função são:
e

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