Encontre as derivadas parciais de
.
Passo 1
Beleza! A gente vai resolver um exercício de cálculo envolvendo derivadas parciais. O problema é encontrar as derivadas parciais da função
. Para isso, vamos precisar entender o que são derivadas parciais e como calculá-las. As derivadas parciais nos mostram como a função muda quando alteramos uma variável enquanto mantemos a outra constante.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma derivada parcial. Se temos uma função de duas variáveis, como
, a derivada parcial em relação a
, escrita como
, indica como
muda quando apenas
varia, mantendo
constante. Similarmente,
mostra a mudança de
quando apenas
varia.
Passo 3
Vamos começar calculando a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. A função é:
Quando derivamos em relação a
, tratamos
como uma constante.
Passo 4
Derivando
em relação a
:
A derivada de
em relação a
é
vezes a derivada de
em relação a
. Aqui,
, então
.
Portanto,
Passo 5
Agora, derivando
em relação a
:
Aqui,
, então
.
Portanto,
Passo 6
Juntando as duas partes, a derivada parcial de
em relação a
é:
Passo 7
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Derivando
em relação a
:
Aqui,
, então
.
Portanto,
Passo 8
Derivando
em relação a
:
Aqui,
, então
.
Portanto,
Passo 9
Juntando as duas partes, a derivada parcial de
em relação a
é:
Resposta
As derivadas parciais da função
são:
e
Exercícios relacionados
Uma certa empresa possui sua função de produção modelada por:
. O nível de investimento é da ordem de
(estrutura e maquinário) e
em trabalho. Determine e interprete as produtividades marginais envolvidas no caso.
Encontre as derivadas parciais de
.
A função utilidade de um individuo assume a forma
onde
é utilidade total e
e
soa as quantidades de duas mercadorias consumidas.
Encontre a função de utilidade marginal de cada uma das duas mercadorias.
Encontre a função de utilidade marginal de cada uma das duas mercadorias.
Escreva os gradientes das seguintes funções: