Encontre as derivadas parciais de .

Passo 1

Beleza! A gente vai resolver um exercício de cálculo envolvendo derivadas parciais. O problema é encontrar as derivadas parciais da função . Para isso, vamos precisar entender o que são derivadas parciais e como calculá-las. As derivadas parciais nos mostram como a função muda quando alteramos uma variável enquanto mantemos a outra constante.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma derivada parcial. Se temos uma função de duas variáveis, como , a derivada parcial em relação a , escrita como , indica como muda quando apenas varia, mantendo constante. Similarmente, mostra a mudança de quando apenas varia.

Passo 3

Vamos começar calculando a derivada parcial de em relação a , ou seja, . A função é:
Quando derivamos em relação a , tratamos como uma constante.

Passo 4

Derivando em relação a :
A derivada de em relação a é vezes a derivada de em relação a . Aqui, , então .
Portanto,

Passo 5

Agora, derivando em relação a :
Aqui, , então .
Portanto,

Passo 6

Juntando as duas partes, a derivada parcial de em relação a é:

Passo 7

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
Derivando em relação a :
Aqui, , então .
Portanto,

Passo 8

Derivando em relação a :
Aqui, , então .
Portanto,

Passo 9

Juntando as duas partes, a derivada parcial de em relação a é:

Resposta

As derivadas parciais da função são:
e

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