Certa função diferenciável é tal que: e . Calcule os valores aproximados de e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função diferenciável e alguns valores conhecidos dela em um ponto específico. Nosso objetivo é encontrar valores aproximados de e . Para isso, vamos usar o conceito de aproximação linear, que é bem útil para estimar valores de funções diferenciáveis perto de um ponto conhecido.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser diferenciável. Basicamente, isso quer dizer que a função pode ser aproximada por uma reta (no caso de funções de uma variável) ou por um plano (para funções de duas variáveis) perto de um ponto específico. No nosso caso, como temos duas variáveis e , vamos usar a aproximação linear para duas dimensões.

Passo 3

A fórmula da aproximação linear para uma função de duas variáveis é:
Aqui, é o ponto onde conhecemos os valores da função e suas derivadas parciais. No nosso exercício, , , , e .

Passo 4

Vamos aplicar essa fórmula para calcular .
Substituindo na fórmula:
Calculando as diferenças:
Então:

Passo 5

Agora, vamos calcular usando a mesma fórmula.
Substituindo na fórmula:
Calculando as diferenças:
Então:

Resposta

Os valores aproximados são:

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(a)