Determine as equações paramétricas da reta tangente à curva dada no ponto indicado.
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as equações paramétricas da reta tangente à curva definida pelas equações dadas no ponto . A matéria envolvida aqui é Geometria Analítica no espaço tridimensional. Para isso, vamos precisar entender como uma reta tangente se relaciona com a curva e como encontrá-la usando as equações que definem a curva.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a curva que nos foi dada. A curva está definida pelas seguintes duas equações:
Isso significa que a curva é a interseção dessas duas superfícies. Como uma das equações já nos dá , podemos substituir esse valor na primeira equação para simplificar.
Passo 3
Substituindo na primeira equação:
Agora, temos expressas todas as coordenadas da curva em termos de :
Passo 4
Com isso, podemos parametrizar a curva usando como parâmetro. Vamos chamar , onde é um número real que varia. Então:
Essas são as equações paramétricas da curva. Agora, precisamos encontrar as equações da reta tangente a essa curva no ponto .
Passo 5
Para encontrar a reta tangente, precisamos da direção dessa reta no ponto dado. Observando as equações paramétricas que encontramos, podemos ver que a direção da curva é dada pelos coeficientes de :
Isso significa que a direção da reta tangente é o vetor .
Passo 6
Agora, usando a forma paramétrica da equação da reta no espaço, que é:
onde é o ponto pelo qual a reta passa e são as componentes do vetor de direção.
Passo 7
Substituindo os valores que temos:
Ponto : , ,
Vetor de direção : , ,
As equações paramétricas da reta tangente ficam:
Simplificando:
Resposta
As equações paramétricas da reta tangente à curva no ponto são: