Seja
. Seja
uma função continuamente diferenciável. Seja
o campo vetorial definido em
por
Acima,
. Ache um potencial para
(se possível) em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar um potencial para o campo vetorial
definido em
. Estamos trabalhando com cálculo vetorial, especificamente com campos vetoriais e potenciais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um potencial para um campo vetorial e como encontrar esse potencial usando derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um potencial para um campo vetorial. Um potencial
para
satisfaz a condição
, onde
é o gradiente de
. Isso significa que cada componente de
é a derivada parcial de
em relação a
,
e
.
Passo 3
Vamos analisar o campo vetorial dado:
onde
.
Podemos notar que
é um campo radial, ou seja, aponta na direção do vetor posição
.
Passo 4
Para encontrar o potencial
, assumimos que
depende apenas de
, ou seja,
. Então, o gradiente de
em coordenadas esféricas é:
onde
.
Passo 5
Igualando
a
:
Simplificando, temos:
Passo 6
Integrando ambos os lados em relação a
:
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Como estamos procurando por um potencial, podemos escolher
para simplificar. Assim, o potencial
é:
Resposta
O potencial para
em
é
.