Seja S = R^3 - {(0,0,0)}. Seja g: R -> R uma função continuamente diferenciável. Seja F o campo vetorial definido em S por
F(x, y, z) = g'(r)/r (x i + y j + z k)
Acima, r = raiz(x^2 + y^2 + z^2). Ache um potencial para F (se possível) em S.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar um potencial para o campo vetorial definido em . Estamos trabalhando com cálculo vetorial, especificamente com campos vetoriais e potenciais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um potencial para um campo vetorial e como encontrar esse potencial usando derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um potencial para um campo vetorial. Um potencial para satisfaz a condição , onde é o gradiente de . Isso significa que cada componente de é a derivada parcial de em relação a , e .

Passo 3

Vamos analisar o campo vetorial dado:
onde .
Podemos notar que é um campo radial, ou seja, aponta na direção do vetor posição .

Passo 4

Para encontrar o potencial , assumimos que depende apenas de , ou seja, . Então, o gradiente de em coordenadas esféricas é:
onde .

Passo 5

Igualando a :
Simplificando, temos:

Passo 6

Integrando ambos os lados em relação a :
onde é a constante de integração.

Passo 7

Como estamos procurando por um potencial, podemos escolher para simplificar. Assim, o potencial é:

Resposta

O potencial para em é .

Exercícios relacionados