Um sólido é limitado pela superfície z = y^2 - x^2, o plano x y e os planos y = 1 e y = 2. Faça um esboço do sólido e calcule seu volume por integração dupla.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que é limitado pela superfície , pelo plano e pelos planos e . Para isso, vamos usar integração dupla, que é uma técnica do cálculo para calcular áreas e volumes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como é o sólido que estamos tratando. A superfície é uma parábola que se abre para cima e para baixo dependendo de e . O plano é simplesmente o chão, onde . E temos os planos verticais e que vão limitar o sólido entre essas duas posições no eixo .

Passo 3

Agora, para calcular o volume, vamos configurar uma integral dupla. A gente vai integrar a função que representa a altura do sólido, que é , sobre a região no plano limitada por e .

Passo 4

Vamos definir os limites de integração. Como varia de 1 a 2, nosso intervalo para será de 1 a 2. Para cada valor de , varia de a porque, da equação , para , temos , ou seja, .

Passo 5

Então, nossa integral dupla para o volume fica assim:
Vamos resolver essa integral passo a passo.

Passo 6

Primeiro, integramos em relação a :
Agora, integramos esse resultado em relação a de 1 a 2:

Resposta

O volume do sólido é 5 unidades cúbicas.

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