Um sólido é limitado pela superfície , o plano e os planos . Faça um esboço do sólido e calcule seu volume por integração dupla.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que é limitado pela superfície , pelo plano e pelos planos e . Para isso, vamos usar integração dupla, que é uma técnica do cálculo para calcular áreas e volumes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como é o sólido que estamos tratando. A superfície é uma parábola que se abre para cima e para baixo dependendo de e . O plano é simplesmente o chão, onde . E temos os planos verticais e que vão limitar o sólido entre essas duas posições no eixo .
Passo 3
Agora, para calcular o volume, vamos configurar uma integral dupla. A gente vai integrar a função que representa a altura do sólido, que é , sobre a região no plano limitada por e .
Passo 4
Vamos definir os limites de integração. Como varia de 1 a 2, nosso intervalo para será de 1 a 2. Para cada valor de , varia de a porque, da equação , para , temos , ou seja, .
Passo 5
Então, nossa integral dupla para o volume fica assim:
Vamos resolver essa integral passo a passo.
Passo 6
Primeiro, integramos em relação a :
Agora, integramos esse resultado em relação a de 1 a 2: