Uma certa moeda de massa Me colocada a uma distância Rdo centro do prato de um toca-discos. 0 coeficiente de atrito estático é . A velocidade angular do toca-discos vai aumentando lentamente até , quando, neste instante, a moeda escorrega para fora do prato. (a) Determine em função das grandezas M, R, g e (b) Faça um esboço mostrando a trajetória aproximada da moeda, quando e projetada para fora do toca-discos.

Passo 1

Vamos resumir o enunciado da questão e identificar o que precisamos resolver. Temos uma moeda de massa colocada a uma distância do centro de um toca-discos. O coeficiente de atrito estático entre a moeda e o prato do toca-discos é . A velocidade angular do toca-discos aumenta lentamente até atingir , momento em que a moeda começa a deslizar para fora do prato.
Precisamos resolver duas partes:
(a) Determinar em função de , , e .
(b) Descrever a trajetória aproximada da moeda quando ela projeta para fora do toca-discos.
Para isso, vamos utilizar conceitos de forças centrípetas e atrito estático.

Passo 2

Parte (a): Determinar
Primeiro, vamos focar na parte (a). Quando o toca-discos está girando, a moeda precisa de uma força centrípeta para manter o movimento circular. Essa força é fornecida pela força de atrito estático entre a moeda e o prato.
A força centrípeta ( ) necessária para manter a moeda em movimento circular é dada por:
onde:
  • é a massa da moeda,
  • é a velocidade angular,
  • é a distância do centro.
A força de atrito estático máxima ( ) que impede o deslize da moeda é:
onde:
  • é o coeficiente de atrito estático,
  • é a aceleração da gravidade.

Passo 3

A moeda começa a deslizar quando a força centrípeta necessária excede a força de atrito disponível. Portanto, no instante em que isso ocorre:
Substituindo as expressões:

Passo 4

Podemos simplificar a equação dividindo ambos os lados por :
Agora, isolamos :

Passo 5

Finalmente, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados para encontrar :

Passo 6

Parte (b): Trajetória da Moeda
Quando a velocidade angular atinge , a força centrípeta necessária para manter a moeda em movimento circular não é mais sustentada pela força de atrito. Nesse momento, a moeda começa a deslizar para fora.
A trajetória aproximada da moeda será uma linha reta tangente ao prato do toca-discos no instante em que ela escorrega. Isso ocorre porque, ao perder a força centrípeta, a moeda não sofre mais a aceleração centrípeta e segue a direção da velocidade no instante do deslize devido à inércia.

Resposta

(a) A velocidade angular é dada por:
(b) A trajetória da moeda, ao escorregar, é uma linha reta tangente ao ponto de contato no prato do toca-discos no instante do deslize.

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Sejam matrizes simétricas: Mostre que é simétrica se, e somente se, .
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a) .
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