Uma certa moeda de massa Me colocada a uma distância Rdo centro do prato de um toca-discos. 0 coeficiente de atrito estático é
. A velocidade angular do toca-discos vai aumentando lentamente até
, quando, neste instante, a moeda escorrega para fora do prato. (a) Determine
em função das grandezas M, R, g e
(b) Faça um esboço mostrando a trajetória aproximada da moeda, quando e projetada para fora do toca-discos.
Passo 1
Vamos resumir o enunciado da questão e identificar o que precisamos resolver. Temos uma moeda de massa
colocada a uma distância
do centro de um toca-discos. O coeficiente de atrito estático entre a moeda e o prato do toca-discos é
. A velocidade angular do toca-discos aumenta lentamente até atingir
, momento em que a moeda começa a deslizar para fora do prato.
Precisamos resolver duas partes:
(a) Determinar em função de
,
,
e
.
(b) Descrever a trajetória aproximada da moeda quando ela projeta para fora do toca-discos.
(a) Determinar
(b) Descrever a trajetória aproximada da moeda quando ela projeta para fora do toca-discos.
Para isso, vamos utilizar conceitos de forças centrípetas e atrito estático.
Passo 2
Parte (a): Determinar
Primeiro, vamos focar na parte (a). Quando o toca-discos está girando, a moeda precisa de uma força centrípeta para manter o movimento circular. Essa força é fornecida pela força de atrito estático entre a moeda e o prato.
A força centrípeta (
) necessária para manter a moeda em movimento circular é dada por:
onde:
-
é a massa da moeda, -
é a velocidade angular, -
é a distância do centro.
A força de atrito estático máxima (
) que impede o deslize da moeda é:
onde:
-
é o coeficiente de atrito estático, -
é a aceleração da gravidade.
Passo 3
A moeda começa a deslizar quando a força centrípeta necessária excede a força de atrito disponível. Portanto, no instante em que isso ocorre:
Substituindo as expressões:
Passo 4
Podemos simplificar a equação dividindo ambos os lados por
:
Agora, isolamos
:
Passo 5
Finalmente, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados para encontrar
:
Passo 6
Parte (b): Trajetória da Moeda
Quando a velocidade angular atinge
, a força centrípeta necessária para manter a moeda em movimento circular não é mais sustentada pela força de atrito. Nesse momento, a moeda começa a deslizar para fora.
A trajetória aproximada da moeda será uma linha reta tangente ao prato do toca-discos no instante em que ela escorrega. Isso ocorre porque, ao perder a força centrípeta, a moeda não sofre mais a aceleração centrípeta e segue a direção da velocidade no instante do deslize devido à inércia.
Resposta
(a) A velocidade angular
é dada por:
(b) A trajetória da moeda, ao escorregar, é uma linha reta tangente ao ponto de contato no prato do toca-discos no instante do deslize.
Exercícios relacionados
Sejam
matrizes simétricas: Mostre que
é simétrica se, e somente se,
.
Provar que se
e
são matrizes que comutam então valem as seguintes igualdades:
a) .
a)
Decomponha
como a soma de dois vetores
e
, com
paralelo ac vetor
e
ortogonal a este último. (Sugestão: revise o Exemplo 3.10 na página 193)
Uma estrela gira por um período de 30 dias em tomo de um eixo que passa por seu centro. 0 período é o intervalo de tempo necessário para um ponto no equador da estrela efetuar uma volta completa em torno do eixo de rotação. Depois que a estrela sofre uma explosão supernova, o núcleo estelar, que tinha um raio de
, sofre colapso em uma estrela de nêutron de raio de
. Determine o período de rotação da estrela de nêutron.