Uma estrela gira por um período de 30 dias em tomo de um eixo que passa por seu centro. 0 período é o intervalo de tempo necessário para um ponto no equador da estrela efetuar uma volta completa em torno do eixo de rotação. Depois que a estrela sofre uma explosão supernova, o núcleo estelar, que tinha um raio de 1,0 times 10^4 km, sofre colapso em uma estrela de nêutron de raio de 3,0 km. Determine o período de rotação da estrela de nêutron.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma estrela que está girando em torno de um eixo e sofre uma explosão chamada supernova. Antes da explosão, a estrela tem um certo período de rotação e um raio específico. Após a explosão, o núcleo da estrela colapsa, diminuindo bastante o seu raio. A gente precisa descobrir qual será o novo período de rotação dessa estrela de nêutron resultante.
Para resolver isso, a gente vai usar o princípio da conservação do momento angular, que diz que, na ausência de torque externo, o momento angular total de um sistema permanece constante. Ou seja, o momento angular antes da explosão é igual ao momento angular depois dela.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é momento angular. O momento angular (L) de um objeto em rotação é dado pela fórmula:
L = I omega
onde:
  • I = 25 m r^2 é o momento de inércia
  • é a velocidade angular
Para uma esfera sólida, o momento de inércia é:
No entanto, como não temos a massa da estrela, mas estamos considerando que a massa não muda durante o colapso, podemos simplificar usando a relação entre os períodos de rotação e os raios antes e depois da explosão.

Passo 3

Como a massa permanece constante e não há torque externo, podemos igualar os momentos angulares antes e depois:
Lantes = Ldepois
Isso significa:
Iantes omegaantes = Idepois omegadepois
Substituindo 25 m rantes^2 omegaantes = 25 m rdepois^2 omegadepois :
rantes^2 omegaantes = rdepois^2 omegadepois
Podemos simplificar os termos comuns:

Passo 4

Agora, como o período de rotação (T) está relacionado à velocidade angular pela fórmula:
omega = 2piT
Podemos substituir rantes^2 ( 2piTantes ) = rdepois^2 ( 2piTdepois ) na equação:
rantes^2 1Tantes = rdepois^2 1Tdepois
Os cancelam:

Passo 5

Isolando Tdepois = Tantes ( rdepoisrantes )^2 :
Agora, vamos substituir os valores fornecidos:
  • dias
  • km
  • km

Passo 6

Substituindo na fórmula:
Tdepois = 30 times ( 3,01,0 times 10^4 )^2
Primeiro, calculamos a fração:
3,01,0 times 10^4 = 3,0 times 10^-4
Elevando ao quadrado:
( 3,0 times 10^-4 )^2 = 9,0 times 10^-8
Multiplicando pelo período anterior:
Tdepois = 30 times 9,0 times 10^-8 = 2,7 times 10^-6 dias

Passo 7

Convertendo dias para segundos para uma resposta mais prática. Sabemos que:
1 dia = 86400 segundos
Então:
Tdepois = 2,7 times 10^-6 times 86400 approx 0,233 segundos

Resposta

O período de rotação da estrela de nêutron é aproximadamente 0,233 segundos.

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