Sejam A, B matrizes simétricas: Mostre que A B é simétrica se, e somente se, A B=B A.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. Temos duas matrizes, e , que são simétricas. Isso significa que e , onde e são as transpostas dessas matrizes.
A tarefa é mostrar que o produto também é simétrico se e somente se . Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma matriz ser simétrica e como funciona a multiplicação de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz simétrica. Uma matriz (AB)^T = AB é simétrica se ela é igual à sua transposta, ou seja, . A transposta de uma matriz é simplesmente aquela que trocamos as linhas pelas colunas.
Agora, vamos ver o que significa dizer que é simétrico. Isso quer dizer que:
Vamos explorar essa igualdade.

Passo 3

Sabemos que a transposta do produto de duas matrizes segue a regra:
(AB)^T = B^T A^T
Como (AB)^T = B A e BA = AB são simétricas, temos e . Substituindo na equação acima:
Então, para ser simétrico, precisamos que:

Passo 4

Agora, vamos juntar tudo que vimos:
  1. é simétrico se .
  2. Mas .
  3. Portanto, .
Isso mostra que se é simétrico, então .

Passo 5

O inverso também precisa ser verdadeiro para a equivalência “se e somente se”. Ou seja, se (AB)^T = BA , então (AB)^T = AB é simétrico.
Se , então:
Mas como , temos:
Isso mostra que é igual à sua transposta, ou seja, é simétrico.

Resposta

Portanto, mostramos que é simétrico se e somente se .

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