Sejam
matrizes simétricas: Mostre que
é simétrica se, e somente se,
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. Temos duas matrizes,
e
, que são simétricas. Isso significa que
e
, onde
e
são as transpostas dessas matrizes.
A tarefa é mostrar que o produto
também é simétrico se e somente se
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma matriz ser simétrica e como funciona a multiplicação de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz simétrica. Uma matriz
é simétrica se ela é igual à sua transposta, ou seja,
. A transposta de uma matriz é simplesmente aquela que trocamos as linhas pelas colunas.
Agora, vamos ver o que significa dizer que
é simétrico. Isso quer dizer que:
Vamos explorar essa igualdade.
Passo 3
Sabemos que a transposta do produto de duas matrizes segue a regra:
Como
e
são simétricas, temos
e
. Substituindo na equação acima:
Então, para
ser simétrico, precisamos que:
Passo 4
Agora, vamos juntar tudo que vimos:
-
é simétrico se . - Mas
. - Portanto,
.
Isso mostra que se
é simétrico, então
.
Passo 5
O inverso também precisa ser verdadeiro para a equivalência “se e somente se”. Ou seja, se
, então
é simétrico.
Se
, então:
Mas como
, temos:
Isso mostra que
é igual à sua transposta, ou seja,
é simétrico.
Resposta
Portanto, mostramos que
é simétrico se e somente se
.
Exercícios relacionados
Provar que se
e
são matrizes que comutam então valem as seguintes igualdades:
a) .
a)
Mostre que se
, então
. (matriz nula)
Uma certa moeda de massa Me colocada a uma distância Rdo centro do prato de um toca-discos. 0 coeficiente de atrito estático é
. A velocidade angular do toca-discos vai aumentando lentamente até
, quando, neste instante, a moeda escorrega para fora do prato. (a) Determine
em função das grandezas M, R, g e
(b) Faça um esboço mostrando a trajetória aproximada da moeda, quando e projetada para fora do toca-discos.
Decomponha
como a soma de dois vetores
e
, com
paralelo ac vetor
e
ortogonal a este último. (Sugestão: revise o Exemplo 3.10 na página 193)