Sejam matrizes simétricas: Mostre que é simétrica se, e somente se, .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. Temos duas matrizes, e , que são simétricas. Isso significa que e , onde e são as transpostas dessas matrizes.
A tarefa é mostrar que o produto também é simétrico se e somente se . Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma matriz ser simétrica e como funciona a multiplicação de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz simétrica. Uma matriz é simétrica se ela é igual à sua transposta, ou seja, . A transposta de uma matriz é simplesmente aquela que trocamos as linhas pelas colunas.
Agora, vamos ver o que significa dizer que é simétrico. Isso quer dizer que:
Vamos explorar essa igualdade.

Passo 3

Sabemos que a transposta do produto de duas matrizes segue a regra:
Como e são simétricas, temos e . Substituindo na equação acima:
Então, para ser simétrico, precisamos que:

Passo 4

Agora, vamos juntar tudo que vimos:
  1. é simétrico se .
  2. Mas .
  3. Portanto, .
Isso mostra que se é simétrico, então .

Passo 5

O inverso também precisa ser verdadeiro para a equivalência “se e somente se”. Ou seja, se , então é simétrico.
Se , então:
Mas como , temos:
Isso mostra que é igual à sua transposta, ou seja, é simétrico.

Resposta

Portanto, mostramos que é simétrico se e somente se .

Exercícios relacionados

Provar que se e são matrizes que comutam então valem as seguintes igualdades:
a) .
Mostre que se , então . (matriz nula)
Uma certa moeda de massa Me colocada a uma distância Rdo centro do prato de um toca-discos. 0 coeficiente de atrito estático é . A velocidade angular do toca-discos vai aumentando lentamente até , quando, neste instante, a moeda escorrega para fora do prato. (a) Determine em função das grandezas M, R, g e (b) Faça um esboço mostrando a trajetória aproximada da moeda, quando e projetada para fora do toca-discos.
Decomponha como a soma de dois vetores e , com paralelo ac vetor e ortogonal a este último. (Sugestão: revise o Exemplo 3.10 na página 193)