Sejam
matrizes simétricas: Mostre que
é simétrica se, e somente se,
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. Temos duas matrizes,
e
, que são simétricas. Isso significa que
e
, onde
e
são as transpostas dessas matrizes.
A tarefa é mostrar que o produto
também é simétrico se e somente se
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma matriz ser simétrica e como funciona a multiplicação de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz simétrica. Uma matriz
é simétrica se ela é igual à sua transposta, ou seja,
. A transposta de uma matriz é simplesmente aquela que trocamos as linhas pelas colunas.
Agora, vamos ver o que significa dizer que
é simétrico. Isso quer dizer que:
Vamos explorar essa igualdade.
Passo 3
Sabemos que a transposta do produto de duas matrizes segue a regra:
Como
e
são simétricas, temos
e
. Substituindo na equação acima:
Então, para
ser simétrico, precisamos que:
Passo 4
Agora, vamos juntar tudo que vimos:
-
é simétrico se . - Mas
. - Portanto,
.
Isso mostra que se
é simétrico, então
.
Passo 5
O inverso também precisa ser verdadeiro para a equivalência “se e somente se”. Ou seja, se
, então
é simétrico.
Se
, então:
Mas como
, temos:
Isso mostra que
é igual à sua transposta, ou seja,
é simétrico.
Resposta
Portanto, mostramos que
é simétrico se e somente se
.