Provar que se
e
são matrizes que comutam então valem as seguintes igualdades:
a)
.
a)
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas matrizes,
e
, que comutam, ou seja,
. A tarefa é provar que:
Aqui, estamos trabalhando com álgebra de matrizes, especificamente com a soma e o produto de matrizes. Para resolver isso, vamos usar as propriedades das operações com matrizes, como a distributiva.
Passo 2
Primeiro, vamos expandir o lado esquerdo da igualdade,
. Isso significa multiplicar
por si mesma:
Passo 3
Agora, aplicamos a propriedade distributiva para multiplicar as matrizes:
Passo 4
Em seguida, distribuímos novamente cada termo:
Lembrando que
e
.
Passo 5
Sabemos que
e
comutam, ou seja,
. Portanto, podemos simplificar a expressão:
Resposta
Portanto, provamos que
quando as matrizes
e
comutam.