Provar que se A e B são matrizes que comutam então valem as seguintes igualdades:
a) (A+B)^2=A^2+2 A B+B^2.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas matrizes, (A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2 e , que comutam, ou seja, . A tarefa é provar que:
Aqui, estamos trabalhando com álgebra de matrizes, especificamente com a soma e o produto de matrizes. Para resolver isso, vamos usar as propriedades das operações com matrizes, como a distributiva.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir o lado esquerdo da igualdade, (A + B)^2 = (A + B)(A + B) . Isso significa multiplicar por si mesma:

Passo 3

Agora, aplicamos a propriedade distributiva para multiplicar as matrizes:
(A + B)(A + B) = A(A + B) + B(A + B)

Passo 4

Em seguida, distribuímos novamente cada termo:
A(A + B) + B(A + B) = AA + AB + BA + BB
Lembrando que e .

Passo 5

Sabemos que A^2 + AB + BA + B^2 = A^2 + AB + AB + B^2 = A^2 + 2AB + B^2 e comutam, ou seja, . Portanto, podemos simplificar a expressão:

Resposta

Portanto, provamos que quando as matrizes e comutam.

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