Provar que se
e
são matrizes que comutam então valem as seguintes igualdades:
a)
.
a)
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas matrizes,
e
, que comutam, ou seja,
. A tarefa é provar que:
Aqui, estamos trabalhando com álgebra de matrizes, especificamente com a soma e o produto de matrizes. Para resolver isso, vamos usar as propriedades das operações com matrizes, como a distributiva.
Passo 2
Primeiro, vamos expandir o lado esquerdo da igualdade,
. Isso significa multiplicar
por si mesma:
Passo 3
Agora, aplicamos a propriedade distributiva para multiplicar as matrizes:
Passo 4
Em seguida, distribuímos novamente cada termo:
Lembrando que
e
.
Passo 5
Sabemos que
e
comutam, ou seja,
. Portanto, podemos simplificar a expressão:
Resposta
Portanto, provamos que
quando as matrizes
e
comutam.
Exercícios relacionados
Mostre que se
, então
. (matriz nula)
Demonstre o momento de inercia para um cilindro de raio R, massa M e comprimento L. Calcule seu momento de inercia sobre seu eu eixo central.
Sejam
matrizes simétricas: Mostre que
é simétrica se, e somente se,
.
Uma certa moeda de massa Me colocada a uma distância Rdo centro do prato de um toca-discos. 0 coeficiente de atrito estático é
. A velocidade angular do toca-discos vai aumentando lentamente até
, quando, neste instante, a moeda escorrega para fora do prato. (a) Determine
em função das grandezas M, R, g e
(b) Faça um esboço mostrando a trajetória aproximada da moeda, quando e projetada para fora do toca-discos.