Decomponha como a soma de dois vetores e , com paralelo ac vetor e ortogonal a este último. (Sugestão: revise o Exemplo 3.10 na página 193)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para decompor o vetor em dois vetores: que é paralelo a e que é ortogonal a esse mesmo vetor . Para resolver isso, vamos usar conceitos de decomposição vetorial e produto escalar para garantir a ortogonalidade.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o vetor ao qual deve ser paralelo, que é . Se dois vetores são paralelos, um é um múltiplo escalar do outro. Então, podemos escrever , onde é um número real que precisamos encontrar.

Passo 3

Sabemos que . Substituindo , temos:
Isso significa que:

Passo 4

Como é ortogonal a , o produto escalar entre eles deve ser zero:
Substituindo da equação anterior:

Passo 5

Vamos calcular o produto escalar:
Somando tudo:

Passo 6

Resolvendo para :

Passo 7

Agora que temos , podemos encontrar e :

Resposta

A decomposição de é:

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