Decomponha W=-i-3 j+2 k como a soma de dois vetores W1 e W2, com W1 paralelo ac vetor j+3 k e W2 ortogonal a este último. (Sugestão: revise o Exemplo 3.10 na página 193)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para decompor o vetor em dois vetores: que é paralelo a e que é ortogonal a esse mesmo vetor . Para resolver isso, vamos usar conceitos de decomposição vetorial e produto escalar para garantir a ortogonalidade.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o vetor ao qual deve ser paralelo, que é . Se dois vetores são paralelos, um é um múltiplo escalar do outro. Então, podemos escrever , onde é um número real que precisamos encontrar.

Passo 3

Sabemos que -i - 3j + 2k = lambda (j + 3k) + W2 . Substituindo W2 = (-i - 3j + 2k) - lambda (j + 3k) , temos:
Isso significa que:

Passo 4

Como W2 cdot (j + 3k) = 0 é ortogonal a [(-i - 3j + 2k) - lambda (j + 3k)] cdot (j + 3k) = 0 , o produto escalar entre eles deve ser zero:
Substituindo da equação anterior:

Passo 5

Vamos calcular o produto escalar:
(-i) cdot (j + 3k) = 0
(-3j) cdot (j + 3k) = -3 (1 cdot 1 + 0 cdot 3) = -3
(2k) cdot (j + 3k) = 2 (0 cdot 1 + 1 cdot 3) = 6
-lambda (j + 3k) cdot (j + 3k) = -lambda (1^2 + 3^2) = -lambda (1 + 9) = -10lambda
Somando tudo:
0 - 3 + 6 - 10lambda = 0 Rightarrow 3 - 10lambda = 0

Passo 6

Resolvendo para 3 - 10lambda = 0 Rightarrow lambda = 310 :

Passo 7

Agora que temos W1 = 310 (j + 3k) = 310j + 910k , podemos encontrar W2 = (-i - 3j + 2k) - (310j + 910k) = -i - 3310j + 1110k e :

Resposta

A decomposição de W1 = 310j + 910k e W2 = -i - 3310j + 1110k é:

Exercícios relacionados