Em uma certa montanha, a elevação acima de um ponto em um plano ao nível do mar é dada por , onde e estão em metros. O eixo positivo aponta para o leste e o eixo positivo aponta para o norte. Um alpinista está no ponto (-20, 5, 1991).
Em que direção de bússola o alpinista deve começar a andar para percorrer um caminho nivelado (duas respostas)?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema sobre a elevação em uma montanha, definido pela fórmula . O alpinista está em um ponto específico e quer saber para qual direção de bússola ele deve andar para seguir um caminho nivelado, ou seja, sem ganhar ou perder altitude. Vamos usar um pouco de cálculo multivariável para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa seguir um caminho nivelado. Isso quer dizer que, à medida que o alpinista se move, a elevação permanece constante. Matematicamente, isso significa que a variação de ( ) é igual a zero.

Passo 3

Para encontrar como muda em relação a e , vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e . Essas derivadas formam o gradiente de , que indica a direção de maior aumento da elevação.
Então, o gradiente é:

Passo 4

Queremos que o alpinista se mova de forma que . Usando o gradiente, isso significa que o vetor direção deve ser perpendicular ao gradiente . Matematicamente:
Ou seja:

Passo 5

Para encontrar uma direção perpendicular ao gradiente, podemos achar um vetor que satisfaça a condição acima. Uma maneira simples é inverter e mudar o sinal de uma das componentes do gradiente. Assim, se , um vetor perpendicular seria ou .

Passo 6

Aplicando isso ao nosso gradiente , temos duas direções possíveis:
Esses vetores representam as possíveis direções que o alpinista pode seguir para manter a mesma altitude.

Passo 7

Agora, vamos substituir o ponto específico onde o alpinista está: .
Para a primeira direção:
Para a segunda direção:
Esses vetores indicam as direções leste-norte e oeste-sul.

Resposta

O alpinista deve começar a andar nas direções de bússola leste-nordeste ou oeste-sudoeste para seguir um caminho nivelado.

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(0,5 ponto) Escreva os seis termos iniciais da sequência dada pela seguinte fórmula de recorrência:
Use a Desigualdade Triangular para mostrar que
a) e , então
Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
Verifique quais dos conjuntos a seguir são abertos em .
c) e