Em uma certa montanha, a elevação
acima de um ponto
em um plano
ao nível do mar é dada por
, onde
e
estão em metros. O eixo
positivo aponta para o leste e o eixo
positivo aponta para o norte. Um alpinista está no ponto (-20, 5, 1991).
Em que direção de bússola o alpinista deve começar a andar para percorrer um caminho nivelado (duas respostas)?
Em que direção de bússola o alpinista deve começar a andar para percorrer um caminho nivelado (duas respostas)?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema sobre a elevação em uma montanha, definido pela fórmula
. O alpinista está em um ponto específico
e quer saber para qual direção de bússola ele deve andar para seguir um caminho nivelado, ou seja, sem ganhar ou perder altitude. Vamos usar um pouco de cálculo multivariável para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que significa seguir um caminho nivelado. Isso quer dizer que, à medida que o alpinista se move, a elevação
permanece constante. Matematicamente, isso significa que a variação de
(
) é igual a zero.
Passo 3
Para encontrar como
muda em relação a
e
, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
. Essas derivadas formam o gradiente de
, que indica a direção de maior aumento da elevação.
Então, o gradiente
é:
Passo 4
Queremos que o alpinista se mova de forma que
. Usando o gradiente, isso significa que o vetor direção
deve ser perpendicular ao gradiente
. Matematicamente:
Ou seja:
Passo 5
Para encontrar uma direção perpendicular ao gradiente, podemos achar um vetor que satisfaça a condição acima. Uma maneira simples é inverter e mudar o sinal de uma das componentes do gradiente. Assim, se
, um vetor perpendicular seria
ou
.
Passo 6
Aplicando isso ao nosso gradiente
, temos duas direções possíveis:
Esses vetores representam as possíveis direções que o alpinista pode seguir para manter a mesma altitude.
Passo 7
Agora, vamos substituir o ponto específico onde o alpinista está:
.
Para a primeira direção:
Para a segunda direção:
Esses vetores indicam as direções leste-norte e oeste-sul.
Resposta
O alpinista deve começar a andar nas direções de bússola leste-nordeste ou oeste-sudoeste para seguir um caminho nivelado.
Exercícios relacionados
(0,5 ponto) Escreva os seis termos iniciais da sequência dada pela seguinte fórmula de recorrência:
Use a Desigualdade Triangular para mostrar que
a) e
, então
a)
Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
Verifique quais dos conjuntos a seguir são abertos em
.
c) e
c)