Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma. 1/(2*3) + 1/(3*4) + 1/(4*5) + ... + 1/((k+1)(k+2)) + ...

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou uma série infinita para analisar:
O objetivo é descobrir se essa série converge (ou seja, tem um valor finito quando somamos infinitas parcelas) ou diverge. Se ela convergir, também vamos calcular essa soma. Para isso, vamos usar conhecimentos de séries infinitas e frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar cada termo da série usando frações parciais. A ideia aqui é quebrar a fração em duas frações mais simples que somadas dão o termo original.
Então, queremos encontrar constantes e tais que:
Multiplicando ambos os lados por , temos:
Agora, vamos resolver para e . Colocando , obtemos , então . Colocando , obtemos , então .
Portanto:

Passo 3

Agora, substituímos cada termo da série original por essa expressão:
Perceba que muitas parcelas se cancelam quando somamos:
O que sobra é apenas o primeiro termo e o último termo que vai se aproximando de zero conforme a série avança.

Passo 4

Para encontrar a soma total da série infinita, observamos que, conforme adicionamos mais termos, os termos negativos vão se aproximando de zero. Então, no limite, a soma da série converge para:

Resposta

A série é convergente e a soma dela é .

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