Em uma certa montanha, a elevação
acima de um ponto
em um plano
ao nível do mar é dada por
, onde
e
estão em metros. O eixo
positivo aponta para o leste e o eixo
positivo aponta para o norte. Um alpinista está no ponto (-20, 5, 1991).
Se o alpinista usar uma bússola para caminhar na direção nordeste, ele subirá ou descerá? A que taxa?
Se o alpinista usar uma bússola para caminhar na direção nordeste, ele subirá ou descerá? A que taxa?
Passo 1
Vamos resumir o problema: temos uma montanha cuja elevação
em relação a um ponto
no plano
é dada pela equação
, onde
e
estão em metros. Um alpinista está no ponto
. Queremos saber se, ao caminhar na direção nordeste usando uma bússola, ele irá subir ou descer, e qual será a taxa desse movimento.
Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de cálculo, especificamente o gradiente e a derivada direcional, que nos ajudam a entender como a função
muda em uma determinada direção.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função e cujas componentes são as derivadas parciais em relação a
e
.
A função dada é:
Vamos calcular as derivadas parciais:
Portanto, o gradiente
é:
Passo 3
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto onde o alpinista está localizado, ou seja, em
:
Esse vetor
indica a direção e a taxa de maior aumento na elevação.
Passo 4
Em seguida, precisamos determinar a direção nordeste. Na bússola, nordeste corresponde a um ângulo de 45 graus em relação ao leste (positiva no eixo
) e norte (positiva no eixo
).
Para representar essa direção como um vetor unitário, usamos:
Passo 5
A derivada direcional da função
na direção nordeste é dada pelo produto escalar do gradiente
com o vetor unitário
:
Simplificando:
Resposta
O alpinista irá subir na direção nordeste a uma taxa aproximada de
metros por metro percorrido.
Exercícios relacionados
Determine para quais valores de
pode-se afirmar: se
e
, então
.
Usando o Wronskiano, mostre a independência linear dos seguintes pares de funções (índices diferentes significam constantes diferentes).