Em uma certa montanha, a elevação z acima de um ponto (x, y) em um plano x y ao nível do mar é dada por z = 2000 - 0.02 * x^2 - 0.04 * y^2, onde x, y e z estão em metros. O eixo x positivo aponta para o leste e o eixo y positivo aponta para o norte. Um alpinista está no ponto (-20, 5, 1991).
Se o alpinista usar uma bússola para caminhar na direção nordeste, ele subirá ou descerá? A que taxa?

Passo 1

Vamos resumir o problema: temos uma montanha cuja elevação em relação a um ponto no plano é dada pela equação , onde e estão em metros. Um alpinista está no ponto . Queremos saber se, ao caminhar na direção nordeste usando uma bússola, ele irá subir ou descer, e qual será a taxa desse movimento.
Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de cálculo, especificamente o gradiente e a derivada direcional, que nos ajudam a entender como a função muda em uma determinada direção.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o gradiente da função . O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função e cujas componentes são as derivadas parciais em relação a e .
A função dada é:
Vamos calcular as derivadas parciais:
Portanto, o gradiente é:

Passo 3

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto onde o alpinista está localizado, ou seja, em :
Esse vetor indica a direção e a taxa de maior aumento na elevação.

Passo 4

Em seguida, precisamos determinar a direção nordeste. Na bússola, nordeste corresponde a um ângulo de 45 graus em relação ao leste (positiva no eixo ) e norte (positiva no eixo ).
Para representar essa direção como um vetor unitário, usamos:

Passo 5

A derivada direcional da função na direção nordeste é dada pelo produto escalar do gradiente com o vetor unitário :
Simplificando:

Resposta

O alpinista irá subir na direção nordeste a uma taxa aproximada de metros por metro percorrido.

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