Determine para quais valores de r(r> 0) pode-se afirmar: se |x - 1| < 0,001 e |y - 2| < r, então |x - y - 1| < 0,02.

Passo 1

Beleza! Vamos lá entender o que a questão está pedindo. Temos duas condições:
E queremos descobrir para quais valores de (sendo ) a seguinte afirmação sempre será verdadeira:
Vamos usar conceitos de desigualdades e propriedades dos valores absolutos para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada uma das condições nos diz sobre os valores de e .
A condição significa que está muito próximo de 1, mais especificamente, está no intervalo:
Ou seja:

Passo 3

Da mesma forma, a condição indica que está perto de 2, dentro do intervalo:

Passo 4

Agora, queremos garantir que:
Vamos manipular essa expressão para relacionar e . Podemos reescrever da seguinte forma:

Passo 5

Vamos aplicar a propriedade triangular dos valores absolutos, que diz que:
Aplicando isso à nossa expressão:

Passo 6

Substituindo as condições que já conhecemos:
Então:

Passo 7

Queremos que:
Já temos que . Para garantir que isso seja menor que 0,02, precisamos que:

Passo 8

Resolvendo para :

Resposta

Portanto, para qualquer valor de tal que , se e , então .

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