Determine para quais valores de
pode-se afirmar: se
e
, então
.
Passo 1
Beleza! Vamos lá entender o que a questão está pedindo. Temos duas condições:
E queremos descobrir para quais valores de
(sendo
) a seguinte afirmação sempre será verdadeira:
Vamos usar conceitos de desigualdades e propriedades dos valores absolutos para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que cada uma das condições nos diz sobre os valores de
e
.
A condição
significa que
está muito próximo de 1, mais especificamente,
está no intervalo:
Ou seja:
Passo 3
Da mesma forma, a condição
indica que
está perto de 2, dentro do intervalo:
Passo 4
Agora, queremos garantir que:
Vamos manipular essa expressão para relacionar
e
. Podemos reescrever
da seguinte forma:
Passo 5
Vamos aplicar a propriedade triangular dos valores absolutos, que diz que:
Aplicando isso à nossa expressão:
Passo 6
Substituindo as condições que já conhecemos:
Então:
Passo 7
Queremos que:
Já temos que
. Para garantir que isso seja menor que 0,02, precisamos que:
Passo 8
Resolvendo para
:
Resposta
Portanto, para qualquer valor de
tal que
, se
e
, então
.